Chủ đề này có 5 trả lời

[luluhary]

Bài 1. Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn:

$$a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$$

Chứng minh rừng:

$$(ab+bc+ca)(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})^2\geq 27$$

Bài 2. Cho các số thực a,b,c thỏa mãn

$$(a+b+c)\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )=10$$

Chứng minh rằng

$$(a^2+b^2+c^2)\left ( \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2} \right ) \geq \frac{27}{2}$$

[khanghaxuan]

Bài 1. Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn:

$$a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$$

Chứng minh rừng:

$$(ab+bc+ca)(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})^2\geq 27$$

Bài 2. Cho các số thực a,b,c thỏa mãn

$$(a+b+c)\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )=10$$

Chứng minh rằng

$$(a^2+b^2+c^2)\left ( \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2} \right ) \geq \frac{27}{2}$$

Bài 2 có ở đây : http://diendantoanho...hi-mo-các-nước/

[bvptdhv]

Bài 1 nha em : ))
Ta đặt $ab=x,bc=y,ca=z$=>$a=\sqrt{\frac{xz}{y}};b=\sqrt{\frac{xy}{z}};c=\sqrt{\frac{yz}{x}}$, từ đây em suy ra được $x+y+z=xy+yz+xz$ (em dựa vào điều kiện đề cho sau đó biến đổi thành $ab+bc+ac=(a+b+c)abc$, ráp x,y,z là chứng minh đc à : ))

Bất đẳng thức cần chứng minh đc viết lại:
$(x+y+z)(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})^{2} \geq 27$

<=>$\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\geq\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{x+y+z}}$

<=>$2(\sqrt{\frac{x}{x+y+z}}+\sqrt{\frac{y}{x+y+z}}+\sqrt{\frac{z}{x+y+z}})+\frac{3\sqrt{3}(x^{2}+y^{2}+z^{2})}{(x+y+z)^{2}}\geq3\sqrt{3}$ (1)

Áp dụng bđt côsi, ta có $\frac{3\sqrt{3}x^{2}}{(x+y+z)^{2}}+\sqrt{\frac{x}{x+y+z}}+\sqrt{\frac{x}{x+y+z}}\geq\frac{3\sqrt{3}x}{x+y+z}$

Tương tự mấy cái kia, em cộng lại theo vế, sau đó em sẽ thấy (1) đúng => bđt cần cm đúng nha
Suýt quên, giải đk, dấu = xra <=>a=b=c=1 : ))

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bvptdhv: 08-07-2015 - 18:06

[binhnhaukhong]

Bài 1 nha em : ))
Ta đặt $ab=x,bc=y,ca=z$=>$a=\sqrt{\frac{xz}{y}};b=\sqrt{\frac{xy}{z}};c=\sqrt{\frac{yz}{x}}$, từ đây em suy ra được $x+y+z=xy+yz+xz$ (em dựa vào điều kiện đề cho sau đó biến đổi thành $ab+bc+ac=(a+b+c)abc$, ráp x,y,z là chứng minh đc à : ))

Bất đẳng thức cần chứng minh đc viết lại:
$(x+y+z)(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})^{2} \geq 27$

 

Đưa về đồng bậc 4 hai vế rồi chuẩn hóa $a+b+c=3$. Áp dụng BĐT:

 

$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\geq ab+bc+ac$

[25 minutes]

Bài 2. Cho các số thực a,b,c thỏa mãn

$$(a+b+c)\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )=10$$

Chứng minh rằng

$$(a^2+b^2+c^2)\left ( \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2} \right ) \geq \frac{27}{2}$$

Không biết có giống cách giải trong Topic kia không ?

Dễ thấy nếu $a,b,c$ đều âm thì giả thiết vô lí.

Giả sử có $2$ số $b,c<0$ và $a>0$. Khi đó đặt $b=-x, c=-y$

Ta có $10=[a-(x+y)][\frac{1}{a}-(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})]\leqslant [a-(x+y)](\frac{1}{a}-\frac{4}{x+y})$

$\Rightarrow 5\leqslant -(\frac{x+y}{a}+\frac{4a}{x+y})$, vô lí.

Giả sử $b,c>0$ $a$ tùy ý

Áp dụng AM-GM ta có 

        $10=(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geqslant (a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{4}{b+c})$

$\Rightarrow 5\geqslant \frac{b+c}{a}+\frac{4a}{b+c}\Rightarrow \frac{b+c}{a} \in [1;4]$

Khi đó ta có 

  $P\geqslant [a^2+\frac{(b+c)^2}{2}][\frac{1}{a^2}+\frac{8}{(b+c)^2}]\geqslant \frac{27}{2}$

[Hoang Nhat Tuan]

Không biết có giống cách giải trong Topic kia không ?

Dễ thấy nếu $a,b,c$ đều âm thì giả thiết vô lí.

Giả sử có $2$ số $b,c<0$ và $a>0$. Khi đó đặt $b=-x, c=-y$

Ta có $10=[a-(x+y)][\frac{1}{a}-(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})]\leqslant [a-(x+y)](\frac{1}{a}-\frac{4}{x+y})$

$\Rightarrow 5\leqslant -(\frac{x+y}{a}+\frac{4a}{x+y})$, vô lí.

Giả sử $b,c>0$ $a$ tùy ý

Áp dụng AM-GM ta có 

        $10=(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geqslant (a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{4}{b+c})$

$\Rightarrow 5\geqslant \frac{b+c}{a}+\frac{4a}{b+c}\Rightarrow \frac{b+c}{a} \in [1;4]$

Khi đó ta có 

  $P\geqslant [a^2+\frac{(b+c)^2}{2}][\frac{1}{a^2}+\frac{8}{(b+c)^2}]\geqslant \frac{27}{2}$

Câu này nằm ở đây:http://diendantoanho...các-nước/page-9