Chủ đề này có 4 trả lời

[Min Nq]

Cho $\left\{\begin{matrix} a\geq 1 & & \\ b\geq 1 & & \end{matrix}\right. Cm: a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}\leq ab$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 09-07-2015 - 15:41

[Nhok Tung]

Áp dụng BĐT AM-GM

$a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}=a\sqrt{1(b-1)}+b\sqrt{1(a-1)}\leq \frac{ab}{2}+\frac{ab}{2}=ab$

[Dinh Xuan Hung]

Cho $\left\{\begin{matrix} a\geq 1 & & \\ b\geq 1 & & \end{matrix}\right. Cm: a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}\leq ab$

Am-gm:

$b-1+1\geq 2\sqrt{b-1}\Leftrightarrow \frac{1}{2}\geq \frac{\sqrt{b-1}}{b}$

CMTT:$\frac{\sqrt{a-1}}{a}\leq \frac{1}{2}$

$\Rightarrow \frac{\sqrt{a-1}}{a}+\frac{\sqrt{b-1}}{b}\leq 1\Leftrightarrow a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}\leq ab$

[davatharvungu]

AM-GM $a\sqrt{b-1}=\sqrt{a}\sqrt{ab-a}\leqslant \frac{ab}{2}$

tương tự,cộng vào dc ngay dpcm

[O0NgocDuy0O]

Cho $\left\{\begin{matrix} a\geq 1 & & \\ b\geq 1 & & \end{matrix}\right. Cm: a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}\leq ab$

Bất đẳng thức tương đương: $\frac{\sqrt{a-1}}{a}+\frac{\sqrt{b-1}}{b}\leq 1$. Áp dụng $AM-GM$, ta có: $\frac{\sqrt{a-1}}{a}\leq \frac{(a-1)+1}{2a}=\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{b-1}}{b}\leq \frac{(b-1)+1}{2b}=\frac{1}{2}$. Do đó có $đpcm$.