Chủ đề này có 1 trả lời

[Bui Ba Anh]

Bài toán: Cho $p$ là số nguyên tố, $p\equiv 1(\mod 8)$, chứng minh rằng:

 $\sum_{k=1}^{\frac{p-1}{2}}\left ( \left \{ \frac{2k^2}{p} \right \} -\left\{\frac{k^2}{p}\right\}\right )=0$

[Zaraki]

Bài toán: Cho $p$ là số nguyên tố, $p\equiv 1(\mod 8)$, chứng minh rằng:

 $\sum_{k=1}^{\frac{p-1}{2}}\left ( \left \{ \frac{2k^2}{p} \right \} -\left\{\frac{k^2}{p}\right\}\right )=0$

Lời giải. Để ý rằng $\left \{ \frac{2k^2}{p} \right \}= \frac{x_k}{p}$ với $0 \le x_k<p$ là số nguyên thoả mãn $2k^2 \equiv x_k \pmod{p}$. Do đó ta đưa bài toán từ tìm $\sum_{k=1}^{\frac{p-1}{2}} \left \{ \frac{2k^2}{p} \right \}$ về tìm $\sum_{k=1}^{\frac{p-1}{2}}x_k$.

Vì $p \equiv 1 \pmod{8}$ nên $\left ( \frac 2p \right )=1$. Do đó từ $2k^2 \equiv x_k \pmod p$ ta suy ra $\left ( \frac{x_k}{p} \right )=1$. 

Vì $1 \le k \le \frac{p-1}{2}$ nên $x_j \ne x_j, \forall 1 \le i \ne j \le \frac{p-1}{2}$. Do đó ta có $\frac{p-1}{2}$ số $x_k$ là số chính phương modulo $p$ với $1 \le k \le \frac{p-1}{2}$.

 

Tương tự ta cũng có với $k^2 \equiv y_k \pmod{p}$ với $0 \le y_k<p$ thì có $\frac{p-1}{2}$ số $y_k$ là chính phương modulo $p$.

Ta biết rằng tập $\{ 1,2, \cdots , p-1 \}$ có đúng $\tfrac{p-1}{2}$ số chính phương modulo $p$ nên $\sum_{k=1}^{\frac{p-1}{2}}x_k= \sum_{k=1}^{\frac{p-1}{2}} y_k$. Như vậy $$\sum_{k=1}^{\frac{p-1}{2}}\left ( \left \{ \frac{2k^2}{p} \right \} -\left\{\frac{k^2}{p}\right\}\right )=0.$$