Cho $k_{1}< k_{2}< k_{3}< ...........................$ là những số nguyên dương không có hai số nào liên tiếp và đặt $S_{n}=k_{1}+k_{2}+.................+ k_{n}, \forall n=1;2;...........$ . CMR : với mọi số nguyên dương khoảng $[S_{n};S_{n+1}]$ chứa ít nhất một số chính phương,
CMR : với mọi số nguyên dương khoảng $[S_{n};S_{n+1}]$ chứa ít nhất một số chính phương,
#1
Đã gửi 09-07-2015 - 22:33
#2
Đã gửi 09-07-2015 - 22:40
Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp
Với $n=2$ xét $2$ số $k_1;k_2$. Ta sẽ chứng minh giữa $k_1$ và $k_2$ luôn tồn tại một số chính phương
Chú ý $k_{n+1}\geq k_n+2$
Giả sử ngược lại không tồn tại một số chính phương nào thuộc khoảng $[k_1;2k_1+2)$. Gọi $t^2$ là số chính phương bé nhất thỏa $t^2\geq 2k_1+2$ suy ra $(t-1)^2<k_1$
Ta có $t^2-2t+1<k_1$
$=>2k_1+2-2t+1<k_1$
$=>2t>k_1+3$
$=>(t-1)^2+3<k_1+3<2t$
$=>(t-2)^2<0$ vô lý
Vậy luôn tồn tại một số chính phương thuộc đoạn này, $n=2$ thỏa
Giả sử bài toán đúng đến $n=k$, tức là trong khoảng $[S_n;Sn+k_{n+1})$ luôn tồn tại một số chính phương
Ta chứng minh trong khoảng $[S_n+k_{n+1};S_n+k_{n+1}+k_{n+2})$ cũng tồn tại một số chính phương
Gọi $t^2$ là số chính phương lớn nhất thỏa: $S_n \leq t^2<S_n+k_{n+1}$
Suy ra $(t+1)^2\geq S_n+k_{n+1}$ nên ta chỉ cần chứng minh $(t+1)^2<S_n+2k_{n+1}+2$
Ta có $(t+1)^2=t^2+2t+1<S_n+k_{n+1}+2t+1\leq S_n+2k_{n+1}+2$
$<=> k_{n+1}+1\geq 2t$
Như vậy ta cần phải chứng minh $(k_{n+1}+1)^2\geq 4(S_n+k_{n+1})=4t^2$ hay $(k_{n+1})^2+1\geq 4S_n+2k_{n+1}$
Dễ kiểm tra điều này luôn đúng
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Bui Ba Anh: 09-07-2015 - 22:44
- kimchitwinkle và NhatTruong2405 thích
#3
Đã gửi 09-07-2015 - 22:50
Khoảng $[Sn,Sn+1)$ có ít nhất 1 số chính phương khi và chỉ khi khoảng $[\sqrt{S_{n}},\sqrt{S_{n+1}})$ có ít nhất 1 số nguyên dương,tức là $\sqrt{S_{n+1}}-\sqrt{S_{n}}\geq 1$
Ta có: $\sqrt{S_{n+1}}-\sqrt{S_{n}}\geq 1$
$\Leftrightarrow S_{n+1} \geq (\sqrt{S_{n}}+1)^{2}$
$\Leftrightarrow S_{n}+k_{n+1} \geq (\sqrt{S_{n}}+1)^{2}$
$\Leftrightarrow k_{n+1}\geq 2\sqrt{S_{n}}+1$
Theo đề bài: $k_{n+1}\geq k_{n}+2$ với mọi n thuộc N*
$\Rightarrow S_{n}\leq nk_{n+1}-n(n+1)$
Ta sẽ chứng minh $k_{n+1}\geq 2\sqrt{nk_{n+1}-n(n+1)}+1$
$\Leftrightarrow (k_{n+1})^{2}-2k{n+1}+1\geq 4nk_{n+1}-4n(n+1)$
$\Leftrightarrow (k{n+1}-2n-1)^{2}\geq 0$ đúng
Vậy ta có đpcm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NhatTruong2405: 09-07-2015 - 22:58
- Bui Ba Anh và kimchitwinkle thích
#4
Đã gửi 09-07-2015 - 23:02
Khoảng $[Sn,Sn+1)$ có ít nhất 1 số chính phương khi và chỉ khi khoảng $[\sqrt{Sn},\sqrt{Sn+1})$ có ít nhất 1 số chính phương,tức là
$\sqrt{Sn+1}-\sqrt{Sn}\geq 1$
Ta có: $\sqrt{Sn+1}-\sqrt{Sn}\geq 1$
$\Leftrightarrow Sn+1 \geq (\sqrt{Sn}+1)^{2}$
$\Leftrightarrow Sn+kn+1 \geq (\sqrt{Sn}+1)^{2}$
$\Leftrightarrow kn+1\geq 2\sqrt{Sn}+1$
Theo đề bài: $kn+1\geq kn+2$ với mọi n thuộc N* $\Rightarrow Sn\leq nkn+1-n(n+1)$
Ta sẽ chứng minh $kn+1\geq 2\sqrt{nkn+1-n(n+1)}+1$
$\Leftrightarrow (kn+1)^{2}-2kn+1+1\geq 4nkn+1-4n(n+1)$
$\Leftrightarrow (kn+1-2n-1)^{2}\geq 0$ đúng
Vậy ta có đpcm
Bạn xem lại lập luận này chút nhé, phản ví dụ đơn giản là $1<3<5$ thì $[1+3,1+3+5)$ có số chính phương nhưng $[2,3)$ không có
Tuy nhiên ý tưởng bài này rất hay, đó là nhận xét giữa $[S_n,S_{n+1})$ có số chính phương khi $\sqrt{S_{n+1}}-\sqrt{S_n} \geq 1$
Vì khi đó ta có thể chọn số $([\sqrt{S_n}]+1)^2$ thỏa mãn đề
Bài toán quy về chứng minh: $\sqrt{S_{n+1}}-\sqrt{S_n} \geq 1<=>(k_{n+1}-1)^2\geq 4(k_1+k_2+...+k_n)$ chính là trường hợp bài làm của mình ở trên, kết hợp phần quy nạp của bạn là hoàn thiện
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Bui Ba Anh: 09-07-2015 - 23:05
- NhatTruong2405 yêu thích
#5
Đã gửi 09-07-2015 - 23:11
Bạn xem lại lập luận này chút nhé, phản ví dụ đơn giản là $1<3<5$ thì $[1+3,1+3+5)$ có số chính phương nhưng $[2,3)$ không có
Tuy nhiên ý tưởng bài này rất hay, đó là nhận xét giữa $[S_n,S_{n+1})$ có số chính phương khi $\sqrt{S_{n+1}}-\sqrt{S_n} \geq 1$
Vì khi đó ta có thể chọn số $([\sqrt{S_n}]+1)^2$ thỏa mãn đề
Bài toán quy về chứng minh: $\sqrt{S_{n+1}}-\sqrt{S_n} \geq 1<=>(k_{n+1}-1)^2\geq 4(k_1+k_2+...+k_n)$ chính là trường hợp bài làm của mình ở trên, kết hợp phần quy nạp của bạn là hoàn thiện
Cảm ơn bạn Mình đã sửa lại rồi
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh