Chủ đề này có 4 trả lời

[arsfanfc]

1, Cho $a,b,c \geq 0$ và $a^2+b^2+c^2=3$ 

Chứng minh $\frac{a}{b+2}+\frac{b}{c+2}+\frac{c}{a+2} \leq 1$

2, Cho $a,b,c >0$ và thỏa mãn $a+b+c=1$

Chứng minh $2(a^3+b^3+c^3)+3(a^2+b^2+c^2)+12abc \geq \frac{5}{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi arsfanfc: 10-07-2015 - 09:39

[vda2000]

1, Cho $a,b,c \geq 0$ và $a^2+b^2+c^2=3$ 

Chứng minh $\frac{a}{b+2}+\frac{b}{c+2}+\frac{c}{a+2} \leq 1$

2, Cho $a,b,c >0$ và thỏa mãn $a+b+c=1$

Chứng minh $2(a^3+b^3+c^3)+3(a^2+b^2+c^2)+12abc \geq \frac{5}{3}$

1, Quy đồng hết lên, kết quả tại đây.

Vì $a^2+b^2+c^2=3$ nên ta cần phải chứng minh bất đẳng thức tương đương sau:

$a^2c+b^2a+c^2b\leq abc+2$

Không mất tính tổng quát, giả sử: $c$ kẹp giữa: $a$ và $b$

Xét $2$ trường hợp: $a\geq c\geq b$ và ngược lại, ở đây chỉ xét $1$ cái.

Ta có: $a\geq c\geq b$

Suy ra: $(a-c)(c-b)\geq 0$

$\Leftrightarrow ac-ab-c^2+bc\geq 0$

$\Leftrightarrow ac+bc\geq ab+c^2$

$\Leftrightarrow abc+b^2c\geq ab^2+bc^2$

Ta cần chứng minh: $2-b^2c\geq a^2c$ $(1)$

thì cộng vế theo về $2$ bất đẳng thức trên được ĐPCM.

Thật vậy: $(1)\Leftrightarrow 2\geq c(a^2+b^2)=c(3-c^2)$

$\Leftrightarrow (c+2)(c-1)^2\geq 0$

Luôn đúng.

Vậy bđt được chứng minh

[arsfanfc]

1, Quy đồng hết lên, kết quả tại đây.

Vì $a^2+b^2+c^2=3$ nên ta cần phải chứng minh bất đẳng thức tương đương sau:

$a^2c+b^2a+c^2b\leq abc+2$

Không mất tính tổng quát, giả sử: $c$ kẹp giữa: $a$ và $b$

Xét $2$ trường hợp: $a\geq c\geq b$ và ngược lại, ở đây chỉ xét $1$ cái.

Ta có: $a\geq c\geq b$

Suy ra: $(a-c)(c-b)\geq 0$

$\Leftrightarrow ac-ab-c^2+bc\geq 0$

$\Leftrightarrow ac+bc\geq ab+c^2$

$\Leftrightarrow abc+b^2c\geq ab^2+bc^2$

Ta cần chứng minh: $2-b^2c\geq a^2c$ $(1)$

thì cộng vế theo về $2$ bất đẳng thức trên được ĐPCM.

Thật vậy: $(1)\Leftrightarrow 2\geq c(a^2+b^2)=c(3-c^2)$

$\Leftrightarrow (c+2)(c-1)^2\geq 0$

Luôn đúng.

Vậy bđt được chứng minh

bạn xem lại  bài bạn trên chỉ chứng minh được dấu"=" khi $a=b=c=1$

bài trên dấu '=' còn xảy ra khi $(a,b,c)=(o,1,\sqrt{2})$

[vda2000]

bạn xem lại  bài bạn trên chỉ chứng minh được dấu"=" khi $a=b=c=1$

bài trên dấu '=' còn xảy ra khi $(a,b,c)=(o,1,\sqrt{2})$

cái đoạn nhân $c$ vào $2$ vế mình quên $c$ chưa khác $0$

 

2, Cho $a,b,c >0$ và thỏa mãn $a+b+c=1$

Chứng minh $2(a^3+b^3+c^3)+3(a^2+b^2+c^2)+12abc \geq \frac{5}{3}$

Ta có bđt: $\Leftrightarrow 2((a+b+c)^2-3.(a+b)(b+c)(c+a))+3.((a+b+c)^2-2(ab+bc+ca))+12abc\geq\frac{5}{3}$

$\Leftrightarrow  5-6.(a+b)(b+c)(c+a)-6.(ab+bc+ca)+12abc\geq\frac{5}{3}$

Khai triển hết ra được:

$ab(a+b+1)+bc(b+c+1)+ca(c+a+1)\leq\frac{5}{9}$

$\Leftrightarrow ab(2-c)+bc(2-a)+ca(2-b)\leq\frac{5}{9}$

$\Leftrightarrow  2ab+2bc+2ca+a^2+b^2+c^2-a^2-b^2-c^2-3abc\leq\frac{5}{9}$

$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+3abc\geq\frac{4}{9}$

Theo nguyên lí Đi-rích-lê, tồn tại $2$ trong $3$ số: $a-\frac{1}{3};b-\frac{1}{3}; c-\frac{1}{3}$ cùng dấu. Giả sử:

$(a-\frac{1}{3})(b-\frac{1}{3})\geq 0$

$\Leftrightarrow ab-\frac{1}{3}(a+b)+\frac{1}{9}\geq 0$

$\Leftrightarrow 3abc\geq (a+b)c-\frac{1}{3}c=(1-c)c-\frac{1}{3}c$

Lại có: $a^2+b^2+c^2\geq\frac{(a+b)^2}{2}+c^2=\frac{(1-c)^2}{2}+c^2$

cộng lại rồi xét bđt theo $1$ biến $c$. Bạn có thể xem ở đây.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vda2000: 10-07-2015 - 09:49

[arsfanfc]

cái đoạn nhân $c$ vào $2$ vế mình quên $c$ chưa khác $0$

 

Ta có bđt: $\Leftrightarrow 2((a+b+c)^2-3.(a+b)(b+c)(c+a))+3.((a+b+c)^2-2(ab+bc+ca))+12abc\geq\frac{5}{3}$

$\Leftrightarrow  5-6.(a+b)(b+c)(c+a)-6.(ab+bc+ca)+12abc\geq\frac{5}{3}$

Khai triển hết ra được:

$ab(a+b+1)+bc(b+c+1)+ca(c+a+1)\leq\frac{5}{9}$

$\Leftrightarrow ab(2-c)+bc(2-a)+ca(2-b)\leq\frac{5}{9}$

$\Leftrightarrow  2ab+2bc+2ca+a^2+b^2+c^2-a^2-b^2-c^2-3abc\leq\frac{5}{9}$

$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+3abc\geq\frac{4}{9}$

Theo nguyên lí Đi-rích-lê, tồn tại $2$ trong $3$ số: $a-\frac{1}{3};b-\frac{1}{3}; c-\frac{1}{3}$ cùng dấu. Giả sử:

$(a-\frac{1}{3})(b-\frac{1}{3})\geq 0$

$\Leftrightarrow ab-\frac{1}{3}(a+b)+\frac{1}{9}\geq 0$

$\Leftrightarrow 3abc\geq (a+b)c-\frac{1}{3}c=(1-c)c-\frac{1}{3}c$

Lại có: $a^2+b^2+c^2\geq\frac{(a+b)^2}{2}+c^2=\frac{(1-c)^2}{2}+c^2$

cộng lại rồi xét bđt theo $1$ biến $c$. Bạn có thể xem ở đây.

Bài 2 có thể đặt $x=ab+bc+ca, y=abc$Vậy $BĐT <=> 18y-12x+5 \geq \frac{5}{3}$

có thể dễ hơn

p/s: bạn thông cảm mình like không đc nửa rồi :

B