Chủ đề này có 13 trả lời

[maythatyeuduoishit]

Với $a,b,c>0$. Chứng minh rằng 

a) $\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\geq \frac{a+b+c}{3}$

b) $\frac{1}{a^3+abc+b^3}+\frac{1}{b^3+abc+c^3}+\frac{1}{a^3+abc+c^3}\leq \frac{1}{abc}$

[phamquanglam]

Với $a,b,c>0$. Chứng minh rằng 

a) $\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\geq \frac{a+b+c}{3}$

b) $\frac{1}{a^3+abc+b^3}+\frac{1}{b^3+abc+c^3}+\frac{1}{a^3+abc+c^3}\leq \frac{1}{abc}$

Bài 2:

Ta có: $a^{3}+b^{3}\geq ab(a+b)\Leftrightarrow (a-b)^{2}(a+b)\geq 0$ (Luôn đúng)

nên: $a^{3}+b^{3}+abc\geq ab(a+b+c)\Rightarrow \frac{abc}{a^{3}+b^{3}+abc}\leq \frac{c}{a+b+c}$

Chứng minh tương tự cho $b,c$ có:

$\frac{abc}{b^{3}+c^{3}+abc}\leq \frac{a}{a+b+c};\frac{abc}{c^{3}+a^{3}+abc}\leq \frac{b}{a+b+c}$

Cộng hết vào:

$abc.\sum \frac{1}{a^{3}+b^{3}+abc}\leq 1\Rightarrow \sum \frac{1}{a^{3}+b^{3}+abc}\leq \frac{1}{abc}$

Bài 1:

Chứng minh: $\frac{a^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}\geq \frac{2a-b}{3}\Leftrightarrow \frac{3a^{3}-(2a-b)(a^{2}+ab+b^{2})}{3(a^{2}+ab+b^{2})}\geq 0=\frac{(a+b)(a^{2}+b^{2})}{3(a^{2}+ab+b^{2})}\geq 0$ Luôn đúng

Nên: $\sum \frac{a^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}\geq \frac{a+b+c}{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamquanglam: 10-07-2015 - 21:25

[rainbow99]

Với $a,b,c>0$. Chứng minh rằng 

a) $\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\geq \frac{a+b+c}{3}$

$\sum \frac{a^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}\geq \sum \frac{2a-b}{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi rainbow99: 10-07-2015 - 21:20

[Nguyen Minh Hai]

Với $a,b,c>0$. Chứng minh rằng 

a) $\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\geq \frac{a+b+c}{3}$

b) $\frac{1}{a^3+abc+b^3}+\frac{1}{b^3+abc+c^3}+\frac{1}{a^3+abc+c^3}\leq \frac{1}{abc}$

a) Sử dụng BĐT $Cauchy-Schwarz$ ta có:

$\sum \frac{a^3}{a^2+ab+b^2} \geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{\sum a(a^2+ab+b^2)}$

 

$\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)^2}{3\sum a(a^2+ab+b^2)}$

 

$=\frac{(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)^2}{3(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)}$

 

$=\frac{a+b+c}{3}$

 

b) Chuẩn hóa $abc=1$, BĐT cần chứng minh trở thành: 

$\sum \frac{1}{a^3+b^3+1} \leq 1$

 

Sử dụng BĐT $Cauchy-Schwarz$ ta có:

$\sum \frac{1}{a^3+b^3+1} =\sum \frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+c^2}{(a^3+b^3+1)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+c^2)}$

 

$\leq \sum \frac{{}\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+c^2}{(a+b+c)^2}$

$=\sum \frac{bc+ca+c^2}{(a+b+c)^2}=1$

[hoanglong2k]

Với $a,b,c>0$. Chứng minh rằng 

a) $\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\geq \frac{a+b+c}{3}$

 Áp dụng BĐT Chebyshev và Cauchy-Schwarz ta có :

 $\sum \frac{a^3}{a^2+ab+b^2}=\sum \frac{a^4}{a^3+ab(a+b)}\geq \frac{3\sum a^4}{\sum a^3+\sum ab(a+b)}\geq \frac{3\sum a^4}{3\sum a^3}\geq \frac{a+b+c}{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoanglong2k: 10-07-2015 - 21:28

[Hoang Nhat Tuan]

Với $a,b,c>0$. Chứng minh rằng 

a) $\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\geq \frac{a+b+c}{3}$

b) $\frac{1}{a^3+abc+b^3}+\frac{1}{b^3+abc+c^3}+\frac{1}{a^3+abc+c^3}\leq \frac{1}{abc}$

a) Ta sẽ chứng minh:$\sum \frac{a^3}{a^2+ab+b^2}\geq \sum \frac{2a-b}{3}<=>\sum (a^3+b^3)\geq \sum ab(a+b)$

b) Sử dụng BĐT $x^3+y^3\geq xy(x+y)$ thì:

$\sum \frac{1}{a^3+abc+b^3}\leq \frac{1}{ab(a+b+c)}=\frac{1}{abc}$

[Min Nq]

Với $a,b> 0$, ta có: $\frac{a^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}\geq \frac{2a-b}{3} \Leftrightarrow ...\Leftrightarrow (a+b)(a-b)^{2}$(đúng)

Tuơng tự ta có: $\frac{b^{3}}{b^{2}+bc+c^{2}}\geq \frac{2b-c}{3}$

                   và  $\frac{c^{3}}{c^{2}+ac+a^{2}}\geq \frac{2c-a}{3}$

Cộng theo vế các bđt trên ta có đpcm.

[Hoang Nhat Tuan]

Chứng minh BĐT mạnh hơn BĐT ở câu a)

$\sum \frac{a^3}{2a^2-ab+2b^2}\geq \frac{\sum a}{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Nhat Tuan: 10-07-2015 - 21:25

[VuHieu]

Với $a,b> 0$, ta có: $\frac{a^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}\geq \frac{2a-b}{3} \Leftrightarrow ...\Leftrightarrow (a+b)(a-b)^{2}$(đúng)

Tuơng tự ta có: $\frac{b^{3}}{b^{2}+bc+c^{2}}\geq \frac{2b-c}{3}$

                   và  $\frac{c^{3}}{c^{2}+ac+a^{2}}\geq \frac{2c-a}{3}$

Cộng theo vế các bđt trên ta có đpcm.

cho mình hỏi kĩ thuật tìm ra hệ số a, b của $(2a-b)/3$

[marcoreus101]

Bài 1 làm thế này

Từ $(a-b)+(b-c)+(c-a)=0\Leftrightarrow \sum \frac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2}=0$

$\Leftrightarrow \sum \frac{a^3}{a^2+ab+b^2}=\sum \frac{b^3}{a^2+ab+b^2}$

Có $2L.H.S=\sum \frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}=\sum \frac{(a+b)(a^2-ab+b^2)}{a^2+ab+b^2}\geq \sum \frac{(a+b)\dfrac{1}{3}(a^2+ab+b^2)}{a^2+ab+b^2}=\frac{2}{3}(a+b+c)$

Nên $L.H.S\geq \frac{a+b+c}{3}$

[marcoreus101]

cho mình hỏi kĩ thuật tìm ra hệ số a, b của $(2a-b)/3$

Phương pháp tiếp tuyến

[Min Nq]

cho mình hỏi kĩ thuật tìm ra hệ số a, b của $(2a-b)/3$

Nói cho đơn giản thì ở bài này, vế trái của bđt cần chứng minh là $a+b+c$, thì ta cần tìm hai số $m,n$ sao cho  $m-n=1 $ , o day $m=2$, $n=1$ nên ta co $2a-b$. Theo kinh nghiệm của mình thì trên tử cứ thấy lũy thừa 3 thì sử dụng bđt phụ  $ a^{3}+b^{3} \geq a^{2}b+ab^{2}$. Noí chung là là chọn $m,n$ để mau vế trái nhân với vế phải kết hợp với tử vế trái có thể biến đổi thành bdt nói trên.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Min Nq: 10-07-2015 - 22:30

[maythatyeuduoishit]

 Áp dụng BĐT Chebyshev và Cauchy-Schwarz ta có :

 $\sum \frac{a^3}{a^2+ab+b^2}=\sum \frac{a^4}{a^3+ab(a+b)}\geq $$\frac{3\sum a^4}{\sum a^3+\sum ab(a+b)}$$\geq \frac{3\sum a^4}{3\sum a^3}\geq \frac{a+b+c}{3}$

mình chưa hiểu khúc này

[Dinh Xuan Hung]

mình chưa hiểu khúc này

Chỗ đó sử dụng BĐT SHUR:

$2(a^3+b^3+c^3)\geq a^3+b^3+c^3+3abc\geq \sum ab(a+b)\Rightarrow 3(a^3+b^3+c^3)\geq \sum a^3+\sum ab(a+b)$