Với $a,b,c>0$. Chứng minh rằng
a) $\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\geq \frac{a+b+c}{3}$
b) $\frac{1}{a^3+abc+b^3}+\frac{1}{b^3+abc+c^3}+\frac{1}{a^3+abc+c^3}\leq \frac{1}{abc}$
Với $a,b,c>0$. Chứng minh rằng
a) $\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\geq \frac{a+b+c}{3}$
b) $\frac{1}{a^3+abc+b^3}+\frac{1}{b^3+abc+c^3}+\frac{1}{a^3+abc+c^3}\leq \frac{1}{abc}$
Với $a,b,c>0$. Chứng minh rằng
a) $\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\geq \frac{a+b+c}{3}$
b) $\frac{1}{a^3+abc+b^3}+\frac{1}{b^3+abc+c^3}+\frac{1}{a^3+abc+c^3}\leq \frac{1}{abc}$
Bài 2:
Ta có: $a^{3}+b^{3}\geq ab(a+b)\Leftrightarrow (a-b)^{2}(a+b)\geq 0$ (Luôn đúng)
nên: $a^{3}+b^{3}+abc\geq ab(a+b+c)\Rightarrow \frac{abc}{a^{3}+b^{3}+abc}\leq \frac{c}{a+b+c}$
Chứng minh tương tự cho $b,c$ có:
$\frac{abc}{b^{3}+c^{3}+abc}\leq \frac{a}{a+b+c};\frac{abc}{c^{3}+a^{3}+abc}\leq \frac{b}{a+b+c}$
Cộng hết vào:
$abc.\sum \frac{1}{a^{3}+b^{3}+abc}\leq 1\Rightarrow \sum \frac{1}{a^{3}+b^{3}+abc}\leq \frac{1}{abc}$
Bài 1:
Chứng minh: $\frac{a^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}\geq \frac{2a-b}{3}\Leftrightarrow \frac{3a^{3}-(2a-b)(a^{2}+ab+b^{2})}{3(a^{2}+ab+b^{2})}\geq 0=\frac{(a+b)(a^{2}+b^{2})}{3(a^{2}+ab+b^{2})}\geq 0$ Luôn đúng
Nên: $\sum \frac{a^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}\geq \frac{a+b+c}{3}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamquanglam: 10-07-2015 - 21:25
THPT PHÚC THÀNH K98
Cuộc sống luôn không ngừng đổi thay, chỉ có tình yêu là luôn ở đó, vẹn tròn và bất diệt. Chính vì thế tôi thay đổi để giữ điều ấy, để tốt hơn từng ngày
Thay đổi cho những điều không bao giờ đổi thay
Học toán trên facebook:https://www.facebook...48726405234293/
My facebook:https://www.facebook...amHongQuangNgoc
Với $a,b,c>0$. Chứng minh rằng
a) $\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\geq \frac{a+b+c}{3}$
$\sum \frac{a^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}\geq \sum \frac{2a-b}{3}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi rainbow99: 10-07-2015 - 21:20
Với $a,b,c>0$. Chứng minh rằng
a) $\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\geq \frac{a+b+c}{3}$
b) $\frac{1}{a^3+abc+b^3}+\frac{1}{b^3+abc+c^3}+\frac{1}{a^3+abc+c^3}\leq \frac{1}{abc}$
a) Sử dụng BĐT $Cauchy-Schwarz$ ta có:
$\sum \frac{a^3}{a^2+ab+b^2} \geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{\sum a(a^2+ab+b^2)}$
$\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)^2}{3\sum a(a^2+ab+b^2)}$
$=\frac{(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)^2}{3(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)}$
$=\frac{a+b+c}{3}$
b) Chuẩn hóa $abc=1$, BĐT cần chứng minh trở thành:
$\sum \frac{1}{a^3+b^3+1} \leq 1$
Sử dụng BĐT $Cauchy-Schwarz$ ta có:
$\sum \frac{1}{a^3+b^3+1} =\sum \frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+c^2}{(a^3+b^3+1)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+c^2)}$
$\leq \sum \frac{{}\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+c^2}{(a+b+c)^2}$
$=\sum \frac{bc+ca+c^2}{(a+b+c)^2}=1$
Với $a,b,c>0$. Chứng minh rằng
a) $\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\geq \frac{a+b+c}{3}$
Áp dụng BĐT Chebyshev và Cauchy-Schwarz ta có :
$\sum \frac{a^3}{a^2+ab+b^2}=\sum \frac{a^4}{a^3+ab(a+b)}\geq \frac{3\sum a^4}{\sum a^3+\sum ab(a+b)}\geq \frac{3\sum a^4}{3\sum a^3}\geq \frac{a+b+c}{3}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoanglong2k: 10-07-2015 - 21:28
Với $a,b,c>0$. Chứng minh rằng
a) $\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\geq \frac{a+b+c}{3}$
b) $\frac{1}{a^3+abc+b^3}+\frac{1}{b^3+abc+c^3}+\frac{1}{a^3+abc+c^3}\leq \frac{1}{abc}$
a) Ta sẽ chứng minh:$\sum \frac{a^3}{a^2+ab+b^2}\geq \sum \frac{2a-b}{3}<=>\sum (a^3+b^3)\geq \sum ab(a+b)$
b) Sử dụng BĐT $x^3+y^3\geq xy(x+y)$ thì:
$\sum \frac{1}{a^3+abc+b^3}\leq \frac{1}{ab(a+b+c)}=\frac{1}{abc}$
Với $a,b> 0$, ta có: $\frac{a^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}\geq \frac{2a-b}{3} \Leftrightarrow ...\Leftrightarrow (a+b)(a-b)^{2}$(đúng)
Tuơng tự ta có: $\frac{b^{3}}{b^{2}+bc+c^{2}}\geq \frac{2b-c}{3}$
và $\frac{c^{3}}{c^{2}+ac+a^{2}}\geq \frac{2c-a}{3}$
Cộng theo vế các bđt trên ta có đpcm.
Chứng minh BĐT mạnh hơn BĐT ở câu a)
$\sum \frac{a^3}{2a^2-ab+2b^2}\geq \frac{\sum a}{3}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Nhat Tuan: 10-07-2015 - 21:25
Với $a,b> 0$, ta có: $\frac{a^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}\geq \frac{2a-b}{3} \Leftrightarrow ...\Leftrightarrow (a+b)(a-b)^{2}$(đúng)
Tuơng tự ta có: $\frac{b^{3}}{b^{2}+bc+c^{2}}\geq \frac{2b-c}{3}$
và $\frac{c^{3}}{c^{2}+ac+a^{2}}\geq \frac{2c-a}{3}$
Cộng theo vế các bđt trên ta có đpcm.
cho mình hỏi kĩ thuật tìm ra hệ số a, b của $(2a-b)/3$
---- Đừng giới hạn thách thức mà hãy thách thức giới hạn đó ----
Web: wWw.VũHiếu2508.vn FB: vuhieu258
Bài 1 làm thế này
Từ $(a-b)+(b-c)+(c-a)=0\Leftrightarrow \sum \frac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2}=0$
$\Leftrightarrow \sum \frac{a^3}{a^2+ab+b^2}=\sum \frac{b^3}{a^2+ab+b^2}$
Có $2L.H.S=\sum \frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}=\sum \frac{(a+b)(a^2-ab+b^2)}{a^2+ab+b^2}\geq \sum \frac{(a+b)\dfrac{1}{3}(a^2+ab+b^2)}{a^2+ab+b^2}=\frac{2}{3}(a+b+c)$
Nên $L.H.S\geq \frac{a+b+c}{3}$
cho mình hỏi kĩ thuật tìm ra hệ số a, b của $(2a-b)/3$
Phương pháp tiếp tuyến
cho mình hỏi kĩ thuật tìm ra hệ số a, b của $(2a-b)/3$
Nói cho đơn giản thì ở bài này, vế trái của bđt cần chứng minh là $a+b+c$, thì ta cần tìm hai số $m,n$ sao cho $m-n=1 $ , o day $m=2$, $n=1$ nên ta co $2a-b$. Theo kinh nghiệm của mình thì trên tử cứ thấy lũy thừa 3 thì sử dụng bđt phụ $ a^{3}+b^{3} \geq a^{2}b+ab^{2}$. Noí chung là là chọn $m,n$ để mau vế trái nhân với vế phải kết hợp với tử vế trái có thể biến đổi thành bdt nói trên.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Min Nq: 10-07-2015 - 22:30
Áp dụng BĐT Chebyshev và Cauchy-Schwarz ta có :
$\sum \frac{a^3}{a^2+ab+b^2}=\sum \frac{a^4}{a^3+ab(a+b)}\geq $$\frac{3\sum a^4}{\sum a^3+\sum ab(a+b)}$$\geq \frac{3\sum a^4}{3\sum a^3}\geq \frac{a+b+c}{3}$
mình chưa hiểu khúc này
mình chưa hiểu khúc này
Chỗ đó sử dụng BĐT SHUR:
$2(a^3+b^3+c^3)\geq a^3+b^3+c^3+3abc\geq \sum ab(a+b)\Rightarrow 3(a^3+b^3+c^3)\geq \sum a^3+\sum ab(a+b)$
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh