Chủ đề này có 3 trả lời

[Quoc Tuan Qbdh]

Cho $a,b,c,d$ là các số thực dương sao cho $\sum \frac{1}{1+a^{4}}=1$

Chứng minh rằng $abcd \geq 3$

[vda2000]

Cho $a,b,c,d$ là các số thực dương sao cho $\sum \frac{1}{1+a^{4}}=1$

Chứng minh rằng $abcd \geq 3$

Ta có: $\frac{1}{1+a^4}+\frac{1}{1+b^4}+\frac{1}{1+c^4}=\frac{d^4}{1+d^4}\geq\frac{3}{\sqrt[3]{(1+a^4)(1+b^4)(1+c^4)}}$

Tương tự với các phân thức: $\frac{c^4}{1+c^4};\frac{b^4}{1+b^4};\frac{a^4}{1+a^4}$

Nhân lại ta có: $\prod\frac{d^4}{1+d^4}\geq\prod\frac{3}{\sqrt[3]{(1+a^4)(1+b^4)(1+c^4)}}=\frac{81}{\prod(1+a^4)}$

Suy ra: $(abcd)^4\geq 81$

$\Leftrightarrow abcd\geq 3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vda2000: 10-07-2015 - 22:51

[arsfanfc]

Cho $a,b,c,d$ là các số thực dương sao cho $\sum \frac{1}{1+a^{4}}=1$

Chứng minh rằng $abcd \geq 3$

Chứng minh luôn bài toán tổng quát:

$\frac{1}{1+a_1^n}+...+\frac{1}{1+a_n^n} =1$ chứng minh rằng $a_1a_2..a_n \geq n-1$

Ta có $1-\frac{1}{1+a_1^n}=\frac{1}{1+a_2^n}+...+\frac{1}{1+a_n^n} \geq (n-1)\sqrt[n-1]{(1+a_2^n)..(1+a_n^n)}$

Tương tự với mấy cài còn lại rồi nhân vế theo về của cac BĐT ta có:

$\frac{a_1a_2...a_n)^n}{(1+a_1^n)...(1+a_n^n)} \geq \frac{(n-1)^n}{(1+a_1^n)..(1+a_n^n)}$

=> đpcm

[rainbow99]

Cho $a,b,c,d$ là các số thực dương sao cho $\sum \frac{1}{1+a^{4}}=1(1)$

Chứng minh rằng $abcd \geq 3$

Cách khác: 

Đặt: $\left\{\begin{matrix} a^{2}=tanx\\ b^{2}=tany\\ c^{2}=tanz\\ d^{2}=tant \end{matrix}\right.$

Theo đó (1) trở thành: $\sum \frac{1}{1+tan^{2}x}=1\Leftrightarrow \sum cos^{2}x=1$

                                    $\Leftrightarrow cos^{2}x+cos^{2}y+cos^{2}z=1-cos^{2}t$

                                    $\Leftrightarrow sin^{2}t=cos^{2}x+cos^{2}y+cos^{2}z\geq 3\sqrt[3]{cos^{2}x.cos^{2}y.cos^{2}z}$

Ta cũng có các BĐT tương tự. Nhân các BĐT đó với nhau ta có: 

$sin^{2}x.sin^{2}y.sin^{2}z.sin^{2}t\geq 81.cos^{2}xcos^{2}ycos^{2}zcos^{2}t$

$\Leftrightarrow \prod tan^{2}x\geq 81\Leftrightarrow abcd\geq 3$