Chủ đề này có 5 trả lời

[Quoc Tuan Qbdh]

Cho $x,y,z \geq 0$ và $x+y+z=3$ . Tìm giá trị lớn nhất của

$K=x+\sqrt{xy}+\sqrt[3]{xyz}$

[hoctrocuaHolmes]

Cho $x,y,z \geq 0$ và $x+y+z=3$ . Tìm giá trị lớn nhất của

$K=x+\sqrt{xy}+\sqrt[3]{xyz}$

Áp dụng AM-GM ta có $\sqrt{xy}=2\sqrt{\frac{x}{4}y}\leq \frac{x}{4}+y$

$\sqrt[3]{xyz}=\sqrt[3]{\frac{x}{4}y.4z}\leq \frac{\frac{x}{4}+y+4z}{3}$

Do đó $K=x+\sqrt{xy}+\sqrt[3]{xyz}\leq x+\frac{x}{4}+y+\frac{\frac{x}{4}+y+4z}{3}=\frac{3x+\frac{3x}{4}+\frac{x}{4}+3y+y+4z}{3}=\frac{4(x+y+z)}{3}=4$

(kết hợp với gt $x+y+z=3$)

Dấu''='' xảy ra $\Leftrightarrow \frac{x}{4}=y=4z\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=\frac{16}{7} & & \\ y=\frac{4}{7} & & \\ z=\frac{1}{7}& & \end{matrix}\right.$

Vậy.........

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi votruc: 11-07-2015 - 17:15

[Dinh Xuan Hung]

Cho $x,y,z \geq 0$ và $x+y+z=3$ . Tìm giá trị lớn nhất của

$K=x+\sqrt{xy}+\sqrt[3]{xyz}$

$K=x+\sqrt{xy}+\sqrt[3]{xyz}$

 Hay $K=x+\frac{1}{2}\sqrt{x.4y}+\frac{1}{4}\sqrt[3]{x.4y.16z}$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

$K\leq x+\frac{1}{2}.\frac{x+4y}{2}+\frac{1}{4}.\frac{x+4y+16z}{3} $

$K\leq x(1+\frac{1}{4}+\frac{1}{12})+y(1+\frac{1}{3})+\frac{4}{3}z$

=>$K\leq \frac{4}{3}(x+y+z)=4$

=>Max$ K=4$

dấu '=' xảy ra khi $x=4y=16z$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 11-07-2015 - 17:23

[Dinh Xuan Hung]

Cho $x,y,z \geq 0$ và $x+y+z=3$ . Tìm giá trị lớn nhất của

$K=x+\sqrt{xy}+\sqrt[3]{xyz}$

Cách khác:

Bài toán. Cho các số $x;y;z>0$ thỏa mãn $x+y+z=1$, chứng minh rằng 
$$x+\sqrt{xy}+\sqrt[3]{xyz} \leq \frac{4}{3}$$

Ta sẽ đưa bất đẳng thức về đồng bậc:
$$Q.e.D\Leftrightarrow x+\sqrt{xy}+\sqrt[3]{xyz}\leq \frac{4}{3}(x+y+z)$$
$$\Leftrightarrow 6\sqrt{xy}+6\sqrt[3]{xyz}\leq 2x+8y+8z$$
Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$ ta có:
$$6\sqrt{xy}\leq 3.\left(\frac{x}{2}+2y\right)\,\,\,\,(1)$$
$$6\sqrt[3]{xyz}\leq 2.\left(\frac{x}{4}+y+4z\right)\,\,\,\,(2)$$
Cộng $(1)$ và $(2)$ vế the0 vế ta có ĐPCM .Dấu bằng xảy ra tại $x=4y=16z=...$ $\blacksquare$
---------------------------------------------------------

Spoiler

Phụ lục:Tại sao nghĩ ra được những con số để $AM-GM$ như trên:
Giả sử $\frac{x}{y}=\frac{\alpha}{\beta}$.Lúc đó thì $x.\beta=y.\alpha$.Áp dụng $AM-GM$ thì:
$$6.\sqrt{\alpha.\beta.xy}\leq 3(x.\beta+y.\alpha)$$
Và
$$6.\sqrt[3]{\alpha.\beta.xyz}\leq 2\left(\frac{x.\beta}{2}+\frac{\alpha.y}{2}+4z\right)$$
Cộng lại thì ta có:
$6.\sqrt{\alpha.\beta.xy}+6.\sqrt[3]{\alpha.\beta.xyz}\leq x.4\beta+y.4\alpha+8z$
Để hệ số của $\sqrt{xy}$ và $\sqrt[3]{xyz}$ bằng nhau và hệ số $y$ gấp $4$ lần $x$ thì:
$ \left\{\begin{matrix} \alpha.\beta=1\\ \frac{\alpha}{\beta}=4 \end{matrix}\right.$
Từ đó ta suy ra $\alpha=2,\beta=\frac{1}{2}$ và có lời giải như trên

[hoctrocuaHolmes]

$K=x+\sqrt{xy}+\sqrt[3]{xyz}$

 Hay $K=x+\frac{1}{2}\sqrt{x.4y}+\frac{1}{4}\sqrt[3]{x.4y.16z}$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

$K\leq x+\frac{1}{2}.\frac{x+4y}{2}+\frac{1}{4}.\frac{x+4y+16z}{3} $

$K\leq x(1+\frac{1}{4}+\frac{1}{12})+y(1+\frac{1}{3})+\frac{4}{3}z$

=>$K\leq \frac{4}{3}(x+y+z)=\frac{4}{3}$

=>Max$ K=\frac{4}{3}$

dấu '=' xảy ra khi $x=4y=16z$

Giả thiết là $x+y+z=3$ mà anh vậy thì $Max A=4$ chứ ạ 

[Dinh Xuan Hung]

Giả thiết là $x+y+z=3$ mà anh vậy thì $Max A=4$ chứ ạ 

À anh nhầm giả thiết $x+y+z=1$ đã FIX