Chủ đề này có 2 trả lời

[Bonjour]

Cho tam giác $ABC$ , với $R:= circumradius$
                                         $r:=inradius$

                                         $p:=semiperimeter$
Chứng minh dãy BĐT sau:

Hình gửi kèm

• 

[dogsteven]

Xét bất đẳng thức chặc nhất, từ đó đem nó chứng minh các bất đẳng thức còn lại.

Giả sử $I,O,G$ lần lược là tâm nội tiếp, tâm ngoại tiếp và trọng tâm của tam giác $ABC$

Khi đó ta có: $OI=\sqrt{R(R-2r)}, IG=\sqrt{p^2-16Rr+5r^2}$. Do đó bất đẳng thức trở thành: $3IG\leqslant IO+R-2r$

Giả sử $H$ là trực tâm và $K$ sao cho $\vec{IK}=3\vec{IG}$. Áp dụng định lý Stewart:

$IK(OG^2+IG.GK)=OI^2.KG+OK^2.IG\Leftrightarrow OK=R-2r$

Do đó ta cần chứng minh $IK\leqslant OI+OK$. Bất đẳng thức này luôn đúng theo bất đẳng thức tam giác.

[dogsteven]

Bất đẳng thức trên có thể biểu diễn thành dãy sau:

Blundon $\leqslant \dfrac{28R^2+20Rr+3r^2-4\sqrt{4R^4-r^4-7R^2r^2-5Rr^3}}{5}\leqslant$ Garfunkel $\leqslant$ Gerretsen