Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$ thoả mãn:
$f(x^5-y^5)=x^2f(x^3)-y^2f(y^3)$ với mọi $x,y\in \mathbb{R}$
#1
Đã gửi 11-07-2015 - 23:52
Bonjour
-
- Thành viên
-
- 476 Bài viết
Sĩ quan
- Warrior Championship yêu thích
Con người nếu không có ước mơ, sống không rõ mục đích mới là điều đáng sợ
#2
Đã gửi 12-07-2015 - 07:26
Dung Du Duong
-
- Thành viên
-
- 425 Bài viết
Sĩ quan
Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$ thoả mãn:
$f(x^5-y^5)=x^2f(x^3)-y^2f(y^3)$ với mọi $x,y\in \mathbb{R}$
f(x) = ax với mọi x thực( a=f(1) )
Bài này làm gần giống: $f(x^{3}-y^{3}) = x^{2}f(x)-y^{2}f(y)$
#3
Đã gửi 12-07-2015 - 14:01
dogsteven
-
- Thành viên
-
- 1567 Bài viết
Đại úy
Cho $y=0$ ta được $f(x^5)=x^2f(x^3)$ nên ta có thể viết phương trình lại thành: $f(x^5-y^5)=f(x^5)-f(y^5)$ hay $f(x-y)=f(x)-f(y)$
Ta có $f(x)=f(x+y-y)=f(x+y)-f(y)$ nên $f(x)+f(y)=f(x+y)\Rightarrow f(x)=ax$
Thử lại thỏa mãn.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dogsteven: 12-07-2015 - 14:04
- Zaraki yêu thích
Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.
#4
Đã gửi 12-07-2015 - 15:51
Zaraki
-
- Phó Quản lý Toán Cao cấp
-
- 4273 Bài viết
PQT
Cho $y=0$ ta được $f(x^5)=x^2f(x^3)$ nên ta có thể viết phương trình lại thành: $f(x^5-y^5)=f(x^5)-f(y^5)$ hay $f(x-y)=f(x)-f(y)$
Ta có $f(x)=f(x+y-y)=f(x+y)-f(y)$ nên $f(x)+f(y)=f(x+y)\Rightarrow f(x)=ax$
Thử lại thỏa mãn.
Hình như không thể suy ra ngay luôn $f(x)=ax$ được, phải cần thêm điều kiện nữa. 
- Dung Du Duong yêu thích
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
#5
Đã gửi 12-07-2015 - 16:09
dogsteven
-
- Thành viên
-
- 1567 Bài viết
Đại úy
Hình như không thể suy ra ngay luôn $f(x)=ax$ được, phải cần thêm điều kiện nữa.
Chết, thiếu mấy điều kiện 
Đến khúc $f(x+y)=f(x)+f(y)$
Cho $x=y=0$ ta được $f(0)=0$. Dễ dàng chứng minh $f(qx)=qf(x)$ với $q\in\mathbb{Q}$
Cho $x=x+q,y=0$ ta được: $f(x^5)+5qf(x^4)+10q^2f(x^3)+10q^3f(x^2)+5q^4f(x)+q^5f(1)-(x^2+2qx+q^2)\left[f(x^3)+3qf(x^2)+3q^2f(x)+q^3f(1)\right]=0$
Vế trái là đa thức 0 theo $q$ nên hệ số của $q^4$ cũng bằng $0$ hay $5f(x)-2xf(1)-3f(x)=0\Leftrightarrow f(x)=ax$
- Zaraki yêu thích
Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
