Cho $a,b,c \ge 1$. C/m $\sum \frac{1}{a^3+1} \ge \frac{3}{1+abc}$
$\sum \frac{1}{a^3+1} \ge \frac{3}{1+abc}$
Bắt đầu bởi I Love MC, 12-07-2015 - 10:04
#1
Đã gửi 12-07-2015 - 10:04
I Love MC
-
- Thành viên nổi bật 2016
-
- 1861 Bài viết
Đại úy
#2
Đã gửi 12-07-2015 - 10:29
NMDuc98
-
- Thành viên
-
- 314 Bài viết
Sĩ quan
Cho $a,b,c \ge 1$. C/m $\sum \frac{1}{a^3+1} \ge \frac{3}{1+abc}$
Áp dụng bổ đề:
Nếu $x,y \ge 1$ thì:
$$\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2} \ge \frac{2}{1+xy}$$
Dấu $=$ xảy ra khi $x=y$.
Nguyễn Minh Đức
Lặng Lẽ
THPT Lê Quảng Chí (Hà Tĩnh)
#3
Đã gửi 12-07-2015 - 10:55
vda2000
-
- Thành viên
-
- 301 Bài viết
Sĩ quan
Áp dụng bổ đề:
Nếu $x,y \ge 1$ thì:
$$\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2} \ge \frac{2}{1+xy}$$
Dấu $=$ xảy ra khi $x=y$.
Chi tiết:
Theo bổ đề:
$\frac{1}{1+x^3}+\frac{1}{1+y^3}\geq\frac{2}{1+\sqrt{x^3y^3}}$
$\frac{1}{1+z^3}+\frac{1}{1+xyz}\geq\frac{2}{1+\sqrt{xyz^4}}$
Suy ra: $\sum\frac{1}{1+x^3}+\frac{1}{1+xyz}\geq 2.(\frac{1}{1+\sqrt{x^3y^3}}+\frac{1}{1+\sqrt{xyz^4}})$
Lại có theo bổ đề:
$\frac{1}{1+\sqrt{x^3y^3}}+\frac{1}{1+\sqrt{xyz^4}}\geq\frac{2}{1+\sqrt[4]{x^4y^4z^4}}=\frac{2}{1+xyz}$
Do đó, $\sum\frac{1}{1+x^3}+\frac{1}{1+xyz}\geq\frac{4}{1+xyz}$
Suy ra: $\sum\frac{1}{1+x^3}\geq\frac{3}{1+xyz}$
- minhduc2000, Nguyen Huy Hoang và hoangtunglam thích
$\boxed{\textrm{Silence is the peak of contempt!}}$
If you see this, you will visit my facebook.....!
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
