Chủ đề này có 6 trả lời

[royal1534]

Bài1:Tìm các số tự nhiên a,b,c(a$\leq$b$\leq$c) thỏa mãn đẳng thức:

(1+$\frac{1}{a}$)(1+$\frac{1}{b}$)(1+$\frac{1}{c}$)=2

Bài 2:Cho a,b,c>0 thỏa a+b+c=6abc

Chứng minh $\frac{bc}{a^{3}(c+2b)}$+$\frac{ca}{b^{3}(a+2c)}$+$\frac{ab}{c^{3}(a+2b}$$\geq$2

Bài 3:Cho a,b,c>0

Chứng Minh:$\frac{25a}{b+c}$+$\frac{16b}{a+c}$+$\frac{c}{a+b}$$\geq$8 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi royal1534: 12-07-2015 - 17:12

[Senju Hashirama]

 

Bài1:Tìm các số tự nhiên a,b,c(a$\leq$b$\leq$c) thỏa mãn đẳng thức:

(a+$\frac{1}{a}$)(b+$\frac{1}{b}$)(c+$\frac{1}{c}$)=2

Bài 2:Cho a,b,c>0 thỏa a+b+c=6abc

Chứng minh $\frac{bc}{a^{3}(c+2b)}$+$\frac{ca}{b^{3}(a+2c)}$+$\frac{ab}{c^{3}(a+2b}$$\geq$2

Bài 3:Cho a,b,c>0

Chứng Minh:$\frac{25a}{b+c}$+$\frac{16b}{a+c}$+$\frac{c}{a+b}$$\geq$8 

 

Bài 2 : 

                       Từ giả thiết , ta có  : $\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}=6$

            Đặt  $x=\frac{1}{a},y=\frac{1}{b},z=\frac{1}{c}\Rightarrow xy+yz+zx=6$

  Ta có BĐT tương đương :

                                           $\frac{x^{3}}{y+2z}+\frac{y^{3}}{z+2x}+\frac{z^{3}}{x+2y}\geq 2$

                                         Áp dụng BĐT CAUCHY-SCHWARZ, ta có :

             $\sum \frac{x^{3}}{y+2z}=\sum \frac{x^{4}}{xy+2xz}\geq \frac{\left ( \sum x^{2} \right )^{2}}{3\sum xy}\geq \frac{\sum xy}{3}=2$

 Ta có điều cần chứng minh.

      Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{\sqrt{2}}$

 

Bài 3 : 

                      áp dụng BĐT CAUCHY-SCHWARZ, ta có :

 $\frac{25a}{b+c}+\frac{16b}{a+c}+\frac{c}{a+b}+25+16+1=\left ( a+b+c \right )\left ( \frac{25}{a+b}+\frac{16}{a+c} +\frac{1}{a+b}\right )=\frac{1}{2}\left ( a+b+b+c+c+a \right )\left ( \frac{25}{b+c}+\frac{16}{a+c} +\frac{1}{a+b}\right )\geq \frac{(5+4+1)^{2}}{2}=50$

 Từ đó ta có điều phải chứng minh 

  Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow \frac{b+c}{5}=\frac{a+c}{4}=\frac{a+b}{1}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Senju Hashirama: 12-07-2015 - 17:04

[Hoang Nhat Tuan]

 

Bài1:Tìm các số tự nhiên a,b,c(a$\leq$b$\leq$c) thỏa mãn đẳng thức:

(a+$\frac{1}{a}$)(b+$\frac{1}{b}$)(c+$\frac{1}{c}$)=2

Bài 2:Cho a,b,c>0 thỏa a+b+c=6abc

Chứng minh $\frac{bc}{a^{3}(c+2b)}$+$\frac{ca}{b^{3}(a+2c)}$+$\frac{ab}{c^{3}(a+2b}$$\geq$2

Bài 3:Cho a,b,c>0

Chứng Minh:$\frac{25a}{b+c}$+$\frac{16b}{a+c}$+$\frac{c}{a+b}$$\geq$8 

 

Bài 3: Cần chứng minh:

$\frac{25(a+b+c)}{b+c}+\frac{16(a+b+c)}{a+c}+\frac{a+b+c}{a+b}\geq 50$

Áp dụng BĐT C-S thì:

$\frac{25(a+b+c)}{b+c}+\frac{16(a+b+c)}{a+c}+\frac{a+b+c}{a+b}\geq (\sum a).\frac{(5+4+1)^2}{2\sum a}=50$

[Truong Gia Bao]

Bài 3:Cho a,b,c>0

Chứng Minh:$ P=\frac{25a}{b+c}$+$\frac{16b}{a+c}$+$\frac{c}{a+b}$$\geq$8 

Phương pháp đổi biến: (có vẻ dài hơn)

Đặt $b+c=x; a+c=y; a+b=z$ $\Rightarrow a=\frac{y+z-x}{2}; b=\frac{x+z-y}{2};c=\frac{x+y-z}{2}$

Từ đó $P=\frac{25(y+z-x)}{2x}+\frac{16(x+z-y)}{2y}+\frac{x+y-z}{2z}=(\frac{25y}{2x}+\frac{8x}{y})+(\frac{25z}{2x}+\frac{x}{2z})+(\frac{8z}{y}+\frac{y}{2z})-21\geq 8$ (theo AM-GM)

[Hoang Nhat Tuan]

 

Bài1:Tìm các số tự nhiên a,b,c(a$\leq$b$\leq$c) thỏa mãn đẳng thức:

(a+$\frac{1}{a}$)(b+$\frac{1}{b}$)(c+$\frac{1}{c}$)=2

Bài 2:Cho a,b,c>0 thỏa a+b+c=6abc

Chứng minh $\frac{bc}{a^{3}(c+2b)}$+$\frac{ca}{b^{3}(a+2c)}$+$\frac{ab}{c^{3}(a+2b}$$\geq$2

Bài 3:Cho a,b,c>0

Chứng Minh:$\frac{25a}{b+c}$+$\frac{16b}{a+c}$+$\frac{c}{a+b}$$\geq$8 

 

Bài 1 có bị sai đề không nhỉ, a,b,c là số tự nhiên thì VT hiển nhiên > VP rồi mà

[royal1534]

Bài 1 có bị sai đề không nhỉ, a,b,c là số tự nhiên thì VT hiển nhiên > VP rồi mà

Sorry anh ,em chỉnh lại rồi đó 

[Hoang Nhat Tuan]

Bài 1: Khai triển ra ta được:

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}+\frac{1}{abc}=1$ (*)

Dễ thấy  $1=VT(*)\leq \frac{3}{a}+\frac{3}{a^2}+\frac{1}{a^3}$

Từ đó suy ra $1\leq a\leq 3$

TH $a=1$ thay vào dễ thấy $VT(*)>1$

TH $a=2$

Khi đó thì:$(1+\frac{1}{b})(1+\frac{1}{c})=\frac{4}{3}$

Do đó:$\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{bc}=\frac{1}{3}$ (**)

Mà $\frac{1}{3}=VT(**)\leq \frac{2}{b}+\frac{1}{b^2}$

Do đó $b\leq 6$, chú ý từ $(**)$ có thể suy ra được $b>3$

Từ đó thay vào tìm c

TH $a=3$ hoàn toàn tương tự

Spoiler

Cách hơi dài

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Nhat Tuan: 12-07-2015 - 17:32