1) $f : \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}: xf(x+xy)=xf(x)+f^2(x)f(y)$
2) $f : \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}: f(x^2+y) + f(f(x)-y)=2f(f(xy))+2y^2$
Cho $x=y=0$, ta thu được $f(0)=0$1) $f : \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}: xf(x+xy)=xf(x)+f^2(x)f(y)$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Bui Ba Anh: 12-07-2015 - 23:47
2) $f : \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}: f(x^2+y) + f(f(x)-y)=2f(f(xy))+2y^2 \qquad (1)$
Lời giải. Giả sử $P(x,y)$ là tính chât của $(1)$.
$P(0,0) \Rightarrow f(0)=f(f(0))$.
$P(0,f(0)) \Rightarrow f(f(0))+f(0)=2f(f(0))+2f(0)^2 \Rightarrow 2f(0)^2=0 \Rightarrow f(0)=0$.
$P(x,0) \Rightarrow f(x^2)+f(f(x))=0. \qquad (2)$
$P(0,y) \Rightarrow f(y)+f(-y)=2y^2. \qquad (3)$
Thay $x= \pm1$ vào $(2)$ ta được $f(f(1))=f(f(-1))=-f(1)$.
Thay $y=f(1)$ vào $(3)$ ta được $f(f(1))+f(-f(1))=2f(1)^2$ hay $f(-f(1))=2f(1)^2+f(1)$.
$P(1,-1) \Rightarrow f(f(1)+1)=2f(f(-1))+2= 2-2f(1). \qquad (4)$
$P(1,f(1)) \Rightarrow f(f(1)+1)=2f(f(f(1)))+2f(1)^2=2f(-f(1))+2f(1)^2=2 \left[ 2f(1)^2+f(1) \right]+2f(1)^2. \qquad (5)$
Từ $(4)$ và $(5)$ ta suy ra $1-f(1)=2f(1)^2+f(1)+f(1)^2 \Rightarrow 3f(1)^2+2f(1)-1=0 \Rightarrow \left( f(1)+1 \right) \left( 3f(1)- 1 \right)=0$. Vậy $f(1)=-1$ hoặc $f(1)= \tfrac 13$.
Nếu $f(1)=-1$ thì theo $(3)$ ta được $f(-1)=3$. Mặt khác $f(f(1))=-f(1)$ hay $f(-1)=1$ nên suy ra mâu thuẫn.
Nếu $f(1)=\tfrac 13$. Khi đó theo $(3)$ thì $f(-1)= \tfrac 53$. Mặt khác $f(f(1))=-f(1)$ nên $f \left( \tfrac 13 \right)= - \tfrac 13$. Thay $x$ bởi $\tfrac 13$ vào $(3)$ ta tìm được $f \left( - \tfrac 13 \right)=\tfrac 59$.
$P(1,y) \Rightarrow f(y+1)+f \left( \tfrac 13 -y \right)=2f(f(y))+2y^2$.
$P(-1,y) \Rightarrow f(y+1)+f \left( \tfrac 53 -y \right)=2f(f(-y))+2y^2$.
Vì $f(f(y))=f(f(-y))=-f(y^2)$ theo $(2)$ nên ta suy ra $f \left( \tfrac 13 -y \right)= f \left( \tfrac 53-y \right)$. Thay $y= \tfrac 23$ vào phương trình này ta được $f(1)=f \left( - \tfrac 13 \right)$, mâu thuẫn.
Vậy phương trình không có nghiệm.
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh