Chủ đề này có 2 trả lời

[Bichess]

1) $f : \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}: xf(x+xy)=xf(x)+f^2(x)f(y)$

2) $f : \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}: f(x^2+y) + f(f(x)-y)=2f(f(xy))+2y^2$

[Bui Ba Anh]

1) $f : \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}: xf(x+xy)=xf(x)+f^2(x)f(y)$

Cho $x=y=0$, ta thu được $f(0)=0$
Cho $x=y$,ta có $xf(x(x+1))=xf(x)=f^3(x) (1)$
Cho $x=-1$ trong $(1)$, ta có $f(-1)=f^3(-1)$
a) Nếu $f(-1)=-1$, thay $y=-1$ vào phương trình đầu,ta có $f^2(x)-f(x)=0=>f(x)=0,f(x)=x$
b)Nếu $f(-1)=1$, tương tự có,$f(x)=0,f(x)=-x$
c)Nếu $f(-1)=0, f(x)=0$
Thử lại ...

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Bui Ba Anh: 12-07-2015 - 23:47

[Zaraki]

2) $f : \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}: f(x^2+y) + f(f(x)-y)=2f(f(xy))+2y^2 \qquad (1)$

Lời giải. Giả sử $P(x,y)$ là tính chât của $(1)$.

$P(0,0) \Rightarrow f(0)=f(f(0))$.

$P(0,f(0)) \Rightarrow f(f(0))+f(0)=2f(f(0))+2f(0)^2 \Rightarrow 2f(0)^2=0 \Rightarrow f(0)=0$.

$P(x,0) \Rightarrow f(x^2)+f(f(x))=0. \qquad (2)$

$P(0,y) \Rightarrow f(y)+f(-y)=2y^2. \qquad (3)$

Thay $x= \pm1$ vào $(2)$ ta được $f(f(1))=f(f(-1))=-f(1)$.

Thay $y=f(1)$ vào $(3)$ ta được $f(f(1))+f(-f(1))=2f(1)^2$ hay $f(-f(1))=2f(1)^2+f(1)$.

$P(1,-1) \Rightarrow f(f(1)+1)=2f(f(-1))+2= 2-2f(1). \qquad (4)$

$P(1,f(1)) \Rightarrow f(f(1)+1)=2f(f(f(1)))+2f(1)^2=2f(-f(1))+2f(1)^2=2 \left[ 2f(1)^2+f(1) \right]+2f(1)^2. \qquad (5)$

Từ $(4)$ và $(5)$ ta suy ra $1-f(1)=2f(1)^2+f(1)+f(1)^2 \Rightarrow 3f(1)^2+2f(1)-1=0 \Rightarrow \left( f(1)+1 \right) \left( 3f(1)- 1 \right)=0$. Vậy $f(1)=-1$ hoặc $f(1)= \tfrac 13$.

 

Nếu $f(1)=-1$ thì theo $(3)$ ta được $f(-1)=3$. Mặt khác $f(f(1))=-f(1)$ hay $f(-1)=1$ nên suy ra mâu thuẫn.

 

Nếu $f(1)=\tfrac 13$. Khi đó theo $(3)$ thì $f(-1)= \tfrac 53$. Mặt khác $f(f(1))=-f(1)$ nên $f \left( \tfrac 13 \right)= - \tfrac 13$. Thay $x$ bởi $\tfrac 13$ vào $(3)$ ta tìm được $f \left( - \tfrac 13 \right)=\tfrac 59$.

 

$P(1,y) \Rightarrow f(y+1)+f \left( \tfrac 13 -y \right)=2f(f(y))+2y^2$.

$P(-1,y) \Rightarrow f(y+1)+f \left( \tfrac 53 -y \right)=2f(f(-y))+2y^2$.

Vì $f(f(y))=f(f(-y))=-f(y^2)$ theo $(2)$ nên ta suy ra $f \left( \tfrac 13 -y \right)= f \left( \tfrac 53-y \right)$. Thay $y= \tfrac 23$ vào phương trình này ta được $f(1)=f \left( - \tfrac 13 \right)$, mâu thuẫn.

 

Vậy phương trình không có nghiệm.