Chủ đề này có 3 trả lời

[Zaraki]

[IMO Shortlist 2014] Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $\Gamma$ có tâm $I$. Đường thẳng qua $I$ vuông góc với $CI$ cắt $BC$ và cung $BC$ (không chứa $A$) của $\Gamma$ tại $U,V$. Đường thẳng qua $U$ song song với $AI$ cắt $AV$ tại $X$, đường thẳng qua $V$ song song với $AI$ cắt $AB$ tại $Y$. $W,Z$ lần lượt là trung điểm $AX,BC$. Chứng minh rằng nếu $I,X,Y$ thẳng hàng thì $I,W,Z$ cũng thẳng hàng.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Zaraki: 13-07-2015 - 12:51

[Bonjour]

Giải như sau :

 Ta có :                $\widehat{BIC}=90^{\circ}+\frac{\widehat{A}}{2}$

 Suy ra:           $\widehat{BIV}=\frac{\widehat{A}}{2}$  .Mà $\widehat{BYV}=\frac{\widehat{A}}{2}$ ( Do $AI$ song song $VY$)
  Nên tứ giác $BYIV$ nội tiếp .Gọi $P$ là giao điểm của $AB$ và $XU$
Theo bổ đề hình thang ta được $PX=XU$ .Mặt khác dễ thấy tứ giác $PIUB$ nội tiếp có $BI$ là phân giác $\widehat{PBU}$ nên tam giác $PIU$ cân tại $I$ ,nhưng $XI$ là trung tuyến nên $XI$ vuông $PU$ . Suy ra $\widehat{YIA}=90^{\circ}$

 Gọi $Q$ là trung điểm $VC$ , $AV\cap QI=T$ và để tiện biến đổi góc ,ta đặt $\widehat{BAV}=\widehat{BCV}=m$

 Chứng minh được $\widehat{TAI}=\widehat{AIT}$ (nhờ biến đổi góc) nên $T$ trùng với $W$

    Như vậy : $T,I,Q$ thẳng hàng .Ta sẽ chứng minh $QI$ đi qua trung điểm $BC$ bằng cách chứng minh $QI$ song song $BV$

 Thật vậy: $\widehat{IYV}=\widehat{IBV}=90^{\circ}$ nên $BV$ là phân giác ngoài tại $B$ của tam giác $ABC$

 $\Rightarrow \widehat{VAC}=\widehat{VCA}\Rightarrow \widehat{BAC}-m=\widehat{ACB}+m\Rightarrow \frac{\widehat{BAC}}{2}=\frac{\widehat{ACB}}{2}+m$

  SUy ra : $\widehat{IQV}=\widehat{BAC}$ .trong khi đó $\widehat{BVC}=180-\widehat{BAC}$

 Nên $IQ$ song song $BV$ .

    Từ đó : $I,W,Z$ thẳng hàng 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Bonjour: 14-07-2015 - 10:23

[dogsteven]

Không biết sao anh trên ghi đề sai mà cũng giải được nhỉ. Em vẽ hình ra thì $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ mới đúng.

[Bonjour]

Không biết sao anh trên ghi đề sai mà cũng giải được nhỉ. Em vẽ hình ra thì $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ mới đúng.

À phải rồi ,thường thì tâm nội tiếp là kí hiệu là $I$ nên không đọc kỹ đoạn đó cho lắm. Vừa mới lên thấy Dogsteven thắc mắc nên qua AoPS xem thử và thấy một cách chứng minh ngắn hơn của Telv Cohl (  làm giật cả mình)