$Cho:\left\{\begin{matrix}a+b\leq 1 & & \\ a,b>0 & & \end{matrix}\right. Tim: min A=\frac{1}{a^2+b^2+1}+\frac{1}{2ab}$
$A=\frac{1}{a^2+b^2+1}+\frac{1}{2ab}$
#1
Đã gửi 13-07-2015 - 15:34
#2
Đã gửi 13-07-2015 - 15:39
$Cho:\left\{\begin{matrix}a+b\leq 1 & & \\ a,b>0 & & \end{matrix}\right. Tim: min A=\frac{1}{a^2+b^2+1}+\frac{1}{2ab}$
Ta có:$A=\frac{1}{a^2+b^2+1}+\frac{1}{2ab+1}+(\frac{1}{2ab}-\frac{1}{2ab+1})\geq \frac{4}{(a+b)^2+2}+\frac{1}{2ab(2ab+1)}$
$\geq \frac{4}{3}+\frac{1}{2ab(2ab+1)}$
Lại có $1\geq a+b\geq 2\sqrt{ab}=>ab\leq \frac{1}{4}$
Do đó:$\frac{1}{2ab(2ab+1)}\geq \frac{4}{3}$
Vậy min $A=\frac{8}{3}$
- minhduc2000, vda2000, HoangVienDuy và 2 người khác yêu thích
#3
Đã gửi 13-07-2015 - 15:52
$Cho:\left\{\begin{matrix}a+b\leq 1 & & \\ a,b>0 & & \end{matrix}\right. Tim: min A=\frac{1}{a^2+b^2+1}+\frac{1}{2ab}$
Ta có: $A=\frac{1}{a^2+b^2+1}+\frac{1}{6ab}+\frac{1}{3ab}\geq\frac{4}{a^2+b^2+1+6ab}+\frac{1}{3ab}=\frac{4}{(a+b)^2+4ab+1}+\frac{1}{3ab}\geq\frac{4}{1+4.\frac{1}{4}+1}+\frac{1}{3.\frac{1}{4}}=\frac{4}{3}+\frac{4}{3}=\frac{8}{3}$
Do ta có: $a+b\leq 1$ nên cũng có: $ab\leq\frac{1}{4}$
- minhduc2000, hoangtunglam và HoangVienDuy thích
$\boxed{\textrm{Silence is the peak of contempt!}}$
If you see this, you will visit my facebook.....!
#4
Đã gửi 13-07-2015 - 16:47
$Cho:\left\{\begin{matrix}a+b\leq 1 & & \\ a,b>0 & & \end{matrix}\right. Tim: min A=\frac{1}{a^2+b^2+1}+\frac{1}{2ab}$
áp dụng cauchy-schwarz ta có:
P=$\frac{1}{a^{2}+b^{2}+1}+\frac{\frac{1}{9}}{2ab}+\frac{\frac{8}{9}}{2ab}\geq \frac{(1+\frac{1}{3})^{2}}{(a+b)^{2}+1}+\frac{\frac{8}{9}}{2ab}\geq \frac{8}{3}$
- vda2000 yêu thích
Có một người đi qua hoa cúc
Có hai người đi qua hoa cúc
Bỏ lại sau lưng cả tuổi thơ mình...
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh