Chủ đề này có 1 trả lời

[thichmontoan]

Cho tam giác ABC, gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác.Qua I dựng đường thẳng vuông góc với IA cắt AB, AC tại M và N. Chứng minh rằng:

            a)$\frac{BM}{CN}=\frac{BI^2}{CI^2}$

            b)$BM.AC+CN.AB+AI^2=AB.AC$

 

[vda2000]

Cho tam giác ABC, gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác.Qua I dựng đường thẳng vuông góc với IA cắt AB, AC tại M và N. Chứng minh rằng:

            a)$\frac{BM}{CN}=\frac{BI^2}{CI^2}$

            b)$BM.AC+CN.AB+AI^2=AB.AC$

a) Ta có: $\Delta BMI\sim\Delta INC$ ($g.g$)

Suy ra: $\frac{BM}{IN}=\frac{MI}{NC}=\frac{BI}{CI}$ (định lý) $(1)$

Dễ dàng chứng minh được $\Delta AMN$ cân tại $A$ do có đường phân giác đồng thời là đường cao.

Suy ra: $IN=MI$ và: $AM=AN$

Ta có: $(1)\Rightarrow\frac{BM}{IN}.\frac{MI}{NC}=(\frac{BI}{CI})^2$

$\Leftrightarrow\frac{BM}{CN}=\frac{BI^2}{CI^2}$ ($Q.E.D$)

 

b) Câu a còn suy ra: $BM.CN=IM^2$

Điều cần chứng minh tương đương với:

$BM.AC+CN.AB+AM^2-IM^2=AB.AC$

$\Leftrightarrow CN.AB-BM.CN+AM^2=AB.AC-BM.AC$ Do: $IM^2=BM.CN$

$\Leftrightarrow CN.AM+AM^2=AM.AC$

$\Leftrightarrow CN+AM=AC$

$\Leftrightarrow CN+AN=AC$ Luôn đúng (Vì: $AM=AN$)