Bài 1. Giả sử $n=6k+\epsilon$ với $\epsilon\in \{0,1,2,3,4,5\}$
Khi đó ta cần chứng minh: $\left\lfloor \dfrac{\epsilon}{3} \right\rfloor+\left\lfloor\dfrac{\epsilon+2}{6} \right\rfloor+\left\lfloor\dfrac{\epsilon+4}{6} \right\rfloor=\left\lfloor\dfrac{\epsilon}{2} \right\rfloor+\left\lfloor\dfrac{\epsilon +3}{6} \right\rfloor$
Thay từng giá trị vào và thấy thỏa mãn.
Bài 2. Đặt $a=\left\lfloor\dfrac{1}{2}+\sqrt{n+\dfrac{1}{2}}\right\rfloor$ và $b=\left\lfloor\dfrac{1}{2}+\sqrt{n+\dfrac{1}{4}}\right\rfloor$ thì $a,b\in\mathbb{Z}^{+}$ và $a\geqslant b$
Ta có $a\leqslant \dfrac{1}{2}+\sqrt{n+\dfrac{1}{2}}$ nên $a^2-a\leqslant n+\dfrac{1}{4}\Rightarrow a^2-a\leqslant n\Rightarrow a\leqslant \dfrac{1}{2}+\sqrt{n+\dfrac{1}{4}}$
$a$ là số nguyên không lớn hơn $\dfrac{1}{2}+\sqrt{n+\dfrac{1}{4}}$ còn $b$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $\dfrac{1}{2}+\sqrt{n+\dfrac{1}{4}}$ nên $a\leqslant b$
Do đó $a=b$
Bài 3. Đầu tiên ta chứng minh: $\left\lfloor\sqrt{4n+1}\right\rfloor=\left\lfloor\sqrt{4n+2}\right\rfloor$
Đặt $a=\left\lfloor\sqrt{4n+1}\right\rfloor$ và $b=\left\lfloor\sqrt{4n+2}\right\rfloor$ thì $a\leqslant b$ và $a,b$ nguyên dương.
Ta có $b\leqslant \sqrt{4n+2}$ nên $b^2\leqslant 4n+2$ mà $b\equiv \{0,1\}\pmod{4}$ nên $b\leqslant \sqrt{4n+1}$.
$a$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $\sqrt{4n+1}$ nên $b\leqslant a$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: $\sqrt{n}+\sqrt{n+1}<\sqrt{4n+2}$ nên $\left\lfloor\sqrt{n}+\sqrt{n+1}\right\rfloor\leqslant \left\lfloor\sqrt{4n+2}\right\rfloor$
Ngoài ra $\sqrt{n}+\sqrt{n+1}>2\sqrt[4]{n(n+1)}>\sqrt{4n+1}$ nên $\left\lfloor\sqrt{n}+\sqrt{n+1}\right\rfloor\leqslant \left\lfloor\sqrt{4n+1}\right\rfloor=\left\lfloor\sqrt{4n+2}\right\rfloor$
Ta có điều phải chứng minh.
