Chủ đề này có 11 trả lời

[anhtukhon1]

Bài 1:

Cho a,b,c >0 thỏa mã ab+bc+ca=1

CMR M=$\frac{a}{\sqrt{a^{2}+1}}+\frac{b}{\sqrt{b^{2}+1}}+\frac{c}{\sqrt{c^{2}+1}}\leq \frac{3}{2}$

Bài 2:

Cho a,b,c >0 thỏa mãn ab+bc+ca=1

CMR: P=$\frac{2a}{\sqrt{a^{2}+1}}+\frac{b}{\sqrt{b^{2}+1}}+\frac{c}{\sqrt{c^{2}+1}}\leq \frac{9}{4}$

Bài 3:

Cho a,b,c>0. CMR:

$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< \sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}$

Bài 4:

Cho x,y,z>0 thỏa mãn $\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}=2$

CMR $xyz\leq \frac{1}{8}$

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anhtukhon1: 15-07-2015 - 19:35

[arsfanfc]

Bài 4:

$\frac{1}{x+1}=1-\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}=\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1} \geq 2\sqrt{\frac{yz}{(y+1)(z+1)}$

Tương tự với 2 cái còn lại:

$=> \frac{1}{(x+1)(y+1)(z+1)} \geq  8\frac{xyz}{(x+1)(y+1)(z+1)}$

[Quoc Tuan Qbdh]

Bài 4 :

$GT\rightarrow \frac{1}{x+1}=1-\frac{1}{y+1}+1-\frac{1}{z+1}=\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}\geq 2\sqrt{\frac{yz}{(y+1)(z+1)}}$ ( Theo $AM-GM$ )

Tương tự $\frac{1}{y+1} \geq 2\sqrt{\frac{xz}{(x+1)(z+1)}}$

$\frac{1}{z+1} \geq 2\sqrt{\frac{xy}{(x+1)(y+1)}}$

Nhân vào tối giản ta có điều phải chứng minh   

[Hoang Nhat Tuan]

Bài 3: Sử dụng 2 BĐT quen thuộc sau:

$\sum \sqrt{\frac{a}{b+c}}\geq 2$

Và $\sum \frac{a}{a+b}<2$

[Quoc Tuan Qbdh]

Bài 1

$M=\frac{a}{\sqrt{a^{2}+ab+bc+ca}}+\frac{b}{\sqrt{b^{2}+bc+ca+ab}}+\frac{c}{\sqrt{c^{2}+ca+cb+ab}}=\frac{a}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}+\frac{b}{\sqrt{(b+c)(b+a)}}+\frac{c}{\sqrt{(c+a)(c+b)}}\leq \frac{1}{2}(\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}+\frac{b}{a+b}+\frac{c}{c+a}+\frac{c}{c+b})=\frac{3}{2}$

[anhtukhon1]

Bài 3: Sử dụng 2 BĐT quen thuộc sau:

$\sum \sqrt{\frac{a}{b+c}}\geq 2$

Và $\sum \frac{a}{a+b}<2$

Làm cụ thế được không

[Quoc Tuan Qbdh]

Thực ra là $\sum \sqrt{\frac{a}{b+c}}\geq 2$ không có dấu "="

Bài 3: Sử dụng 2 BĐT quen thuộc sau:

$\sum \sqrt{\frac{a}{b+c}}\geq 2$

Và $\sum \frac{a}{a+b}<2$

Ta có : $\sqrt{\frac{a}{b+c}}=\sqrt{\frac{a^{2}}{a(b+c)}}=\frac{a}{\sqrt{a(b+c)}}\geq \frac{2a}{a+b+c}$

Tương tự $\sqrt{\frac{b}{c+a}} \geq \frac{2b}{a+b+c}$

$\sqrt{\frac{c}{a+b}} \geq \frac{2c}{a+b+c}$

$--> \sum \sqrt{\frac{a}{b+c}}\geq 2$ Dấu "=" khi $\left\{\begin{matrix}a=b+c \\ b=a+c \\ c=a+b \end{matrix}\right.$ ( không xảy ra )

vậy  $\sum \sqrt{\frac{a}{b+c}} > 2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Quoc Tuan Qbdh: 15-07-2015 - 20:16

[NhatTruong2405]

Làm cụ thế được không

Ta co: $\frac{a}{b+c}< \frac{a+a}{a+b+c}< \frac{2a}{a+b+c}$

$\Leftrightarrow \sum \frac{a}{b+c}< \sum \frac{2a}{a+b+c}=2$

Vay $\sum \frac{a}{b+c}< 2$

Ta co: $\sqrt{a(b+c)}\leq \frac{a+b+c}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{a(b+c)}}\geq \frac{2}{a+b+c}$

$\Leftrightarrow \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b+c}}\geq \frac{2a}{a+b+c}$

$\Leftrightarrow \sum \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b+c}}\geq \sum \frac{2a}{a+b+c}=2$

BDT duoc chung minh

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NhatTruong2405: 15-07-2015 - 20:20

[Nguyen Minh Hai]

$\sum \frac{a}{a+b} <2$

 

$\Leftrightarrow \sum \frac{b}{a+b}>1$

 

$Cauchy-Schwarz:$   $LHS \geq \frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}>1$

[quangtq1998]

Bài 1, Bài 2 làm tuơng tự như nhau ;

Bài 1 :

Với điều kiện $ab+bc+ca = 1$ <=>$ \sum  \frac{1}{a} = \frac{1}{abc} $
Nên ta có thể đặt $\tan{A} = \frac{1}{a}$,$\tan{B} = \frac{1}{b}$,$\tan{C} = \frac{1}{c}$  với $A+B+C = \pi $
$bdt <=> $ $\sum \cos{A} \leq \frac{3}{2} $
Cái này hiển nhiên vì theo bất đẳng thức cauchy $\sum \cos{A} \leq 3cos{\frac{A+B+C}{2}} =\frac{3}{2}$


Bài 2 : Làm tương tự như thế ta có :
$bdt <=> 2\cos A + \cos B + \cos C \leq \frac{9}{4} $
$VT \leq 2\cos A + 2\cos \frac{B+C}{2}  =  2- 4\sin^2\frac{A}{2} + 2\sin \frac{A}{2}  $
Đặt$ t = \sin \frac{A}{2}$ có dạng$ 2-4t^2+2t \leq \frac{9}{4} $

Cái này dùng tam thức bậc hai hoàn toàn có thể chứng minh dễ dàng được

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quangtq1998: 15-07-2015 - 21:34

[quangtq1998]

Bài 2 cách khác này :

Ta có :$ (\sqrt{b}  \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b^2+1}}+\sqrt{c} \frac{\sqrt{c}}{\sqrt{c^2+1}} )^2 \leq (b+c)( \frac{b}{b^2+1} + \frac{c}{c^2+1}) =(b+c) (\frac{b}{(b+a)(b+c)}+\frac{c}{(c+a)(c+b)) =\frac{b}{b+a} +\frac{c}{c+a}$
$\frac{2a}{\sqrt{a^2+1}} =2\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a+b}}.\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a+c}} \leq \frac{a}{a+c} +\frac{a}{a+b}$
Cộng vế với vế
$( \frac{b}{\sqrt{b^2+1}}+ \frac{c}{\sqrt{c^2+1}} )^2 + \frac{2a}{\sqrt{a^2+1}} \leq 2$
$\Rightarrow  \frac{b}{\sqrt{b^2+1}}+ \frac{c}{\sqrt{c^2+1}} \leq \sqrt{ 2-\frac{2a}{\sqrt{a^2+1}}}$
$\Rightarrow \frac{b}{\sqrt{b^2+1}}+ \frac{c}{\sqrt{c^2+1}} + \frac{2a}{\sqrt{a^2+1}} \leq \frac{2a}{\sqrt{a^2+1}} + \sqrt{ 2-\frac{2a}{\sqrt{a^2+1}}}$
Đặt $t = \sqrt{ 2-\frac{2a}{\sqrt{a^2+1}}} \rightarrow  VT \leq 2-t^2+t  = \frac{9}{4}- (t - \frac{1}{2})^2 \leq \frac{9}{4} (dpcm)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quangtq1998: 15-07-2015 - 23:33

[quangtq1998]

Bài 2 cách khác này :

Ta có :$ (\sqrt{b}  \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b^2+1}}+\sqrt{c} \frac{\sqrt{c}}{\sqrt{c^2+1}} )^2 \leq (b+c)( \frac{b}{b^2+1} + \frac{c}{c^2+1}) =(b+c) (\frac{b}{(b+a)(b+c)}+\frac{c}{(c+a)(c+b)}           ) =\frac{b}{b+a} +\frac{c}{c+a}$
$\frac{2a}{\sqrt{a^2+1}} =2\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a+b}}.\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a+c}} \leq \frac{a}{a+c} +\frac{a}{a+b}$
Cộng vế với vế
$( \frac{b}{\sqrt{b^2+1}}+ \frac{c}{\sqrt{c^2+1}} )^2 + \frac{2a}{\sqrt{a^2+1}} \leq 2$
$\Rightarrow  \frac{b}{\sqrt{b^2+1}}+ \frac{c}{\sqrt{c^2+1}} \leq \sqrt{ 2-\frac{2a}{\sqrt{a^2+1}}}$
$\Rightarrow \frac{b}{\sqrt{b^2+1}}+ \frac{c}{\sqrt{c^2+1}} + \frac{2a}{\sqrt{a^2+1}} \leq \frac{2a}{\sqrt{a^2+1}} + \sqrt{ 2-\frac{2a}{\sqrt{a^2+1}}}$
Đặt $t = \sqrt{ 2-\frac{2a}{\sqrt{a^2+1}}} \rightarrow  VT \leq 2-t^2+t  = \frac{9}{4}- (t - \frac{1}{2})^2 \leq \frac{9}{4} (dpcm)$