Cho $a,b,c>0$ thỏa $a^{2}+b^{2}+c^{2} \geq 12$
Chứng minh rằng:$\frac{a^{2}}{b} +\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a} \geq 6$
Cho $a,b,c>0$ thỏa $a^{2}+b^{2}+c^{2} \geq 12$
Chứng minh rằng:$\frac{a^{2}}{b} +\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a} \geq 6$
Cho $a,b,c>0$ thỏa $a^{2}+b^{2}+c^{2} \geq 12$
Chứng minh rằng:$\frac{a^{2}}{b} +\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a} \geq 6$
Đưa BĐT về đông bậc thì ta cần chứng minh
$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq \sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}$
$\Leftrightarrow \sum \left ( \frac{a^2}{b}-2a+b \right )\geq \sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}-(a+b+c)$
$\Leftrightarrow \sum \frac{(a-b)^2}{b}\geq \frac{\sum (a-b)^2}{\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)+(a+b+c)}}$
$\Leftrightarrow \sum (a-b)^2.\left [ \frac{1}{b}-\frac{1}{\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)+(a+b+c)}} \right ]\geq 0$
BĐT trên luôn đúng
Cho $a,b,c>0$ thỏa $a^{2}+b^{2}+c^{2} \geq 12$
Chứng minh rằng:$\frac{a^{2}}{b} +\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a} \geq 6$
Cách khác
Có $VT=\frac{a^4}{a^2b}+\frac{b^4}{b^2c}+\frac{c^4}{c^2a}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a^2b+b^2c+c^2a}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{\sqrt{(a^2+b^2+c^2)(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)}} $ (Cauchy Schwarz)
Mà $(a^2+b^2+c^2)^2 \geq 3(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)$
Nên => $\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{\sqrt{(a^2+b^2+c^2)(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)}} \geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{\sqrt{\frac{1}{3}(a^2+b^2+c^2)(a^2+b^2+c^2)^2}}=\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)} =6$
=>đpcm
Chung Anh
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh