Chủ đề này có 1 trả lời

[olympiachapcanhuocmo]

(APMO 2002) Tìm các số nguyên dương a,b thỏa mãn : $\left\{\begin{matrix}a^{2}+b\vdots b^{2}-a & & \\ & & \end{matrix}\right.b^{2}+a\vdots a^{2}-b$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi olympiachapcanhuocmo: 17-07-2015 - 23:13

[hoanglong2k]

(APMO 2002) Tìm các số nguyên dương a,b thỏa mãn : $\left\{\begin{matrix}a^{2}+b\vdots b^{2}-a & & \\ & & \end{matrix}\right.b^{2}+a\vdots a^{2}-b$

 

 Không mất tính tổng quát, giả sử $a\geq b$

 Nếu $a=b$ thì ta có : 

 $a^2-a|a^2+a\Rightarrow a^2-a|2a\Rightarrow a^2-a\leq 2a\Leftrightarrow a\leq 3\Rightarrow a=b\in \left \{ 1;2;3 \right \}$

 Nêu $a\geq b+1\Rightarrow a-b\geq 1\Leftrightarrow a^2-b^2\geq a+b\Leftrightarrow a^2-b\geq b^2+a$

 Mặt khác $a^2-b|b^2+a\Rightarrow a^2-b\leq b^2+a$

 Suy ra $a=b+1$ mà $b^2-a|a^2+b\Leftrightarrow b^2-b-1|b^2+3b+1\Leftrightarrow b^2-b-1|4b+2\Rightarrow b^2-5b-3\leq 0$

 Giải bất phương trình trên và giời hạn tập nghiệm nguyên được $b\in [1;5]$

 Thay các giá trị vào, giá trị nào thoả mãn thì lấy, ko thì loại