Chủ đề này có 2 trả lời

[Toanthinh108]

Cho dãy số $(u_n)$ thỏa mãn điều kiện: $u_1=4; u_{n+1}=2u_n+\sqrt{3u_n^2+1},n=1,2,... $

a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có $u_{n+2}=4u_{n+1}-u_n.$

b) Chứng minh $u_{2015}$ chia hết cho 5.

[ducvipdh12]

 

Cho dãy số $(u_n)$ thỏa mãn điều kiện: $u_1=4; u_{n+1}=2u_n+\sqrt{3u_n^2+1},n=1,2,... $

a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có $u_{n+2}=4u_{n+1}-u_n.$

b) Chứng minh $u_{2015}$ chia hết cho 5.

 

a/$\sqrt{3u_n^2+1}=u_{n+1}-2u_n\Leftrightarrow 3u_n^2+1=4u_n^2-4u_nu_{n+1}+u_{n+1}^2\Leftrightarrow 3u_{n+1}^2+1=u_n^2-4u_nu_{n+1}+4u_{n+1}^2\Leftrightarrow u_{n+2}-2u_{n+1}=2u_{n+1}-u_n$

b/

Ta chứng minh quy nạp với $n=3k-1$,$k$ nguyên dương thì $u_n\vdots 5$

$k=1$ đúng,giả sử đúng đến $k$,ta sẽ chứng minh $k+1$ cũng đúng

Thật vậy ta có:

$u_{3k+2}=4u_{3k+1}-u_{3k}=4(4u_{3k}-u_{3k-1})-u_{3k}=15u_{3k}-4u_{3k-1}\vdots 5$

Vậy ta có dpcm

[Toanthinh108]

a/$\sqrt{3u_n^2+1}=u_{n+1}-2u_n\Leftrightarrow 3u_n^2+1=4u_n^2-4u_nu_{n+1}+u_{n+1}^2\Leftrightarrow 3u_{n+1}^2+1=u_n^2-4u_nu_{n+1}+4u_{n+1}^2\Leftrightarrow u_{n+2}-2u_{n+1}=2u_{n+1}-u_n$

b/

Ta chứng minh quy nạp với $n=3k-1$,$k$ nguyên dương thì $u_n\vdots 5$

$k=1$ đúng,giả sử đúng đến $k$,ta sẽ chứng minh $k+1$ cũng đúng

Thật vậy ta có:

$u_{3k+2}=4u_{3k+1}-u_{3k}=4(4u_{3k}-u_{3k-1})-u_{3k}=15u_{3k}-4u_{3k-1}\vdots 5$

Vậy ta có dpcm

b

Cảm ơn bác rất nhiều. Bác xem em làm câu b thế này có được không?

Ta có $u_1=4, u_2=15$ nên từ câu a) suy ra dãy số  $(u_n)$ là dãy số nguyên dương

và $u_{n+3}-u_n=4u_{n+2}-u_{n+1}-u_n=4(4u_{n+1}-u_{n})-u_{n+1}-u_n=5(3u_{n+1}-u_n).$

 Suy ra $u_{n+3}-u_n \equiv 0 (\bmod \; 5) $.

Hay $u_{n+3} \equiv u_n (\bmod \; 5) $.

Mà $u_2 = 15$ nên $0 \equiv u_{2} \equiv u_{5} \equiv ... \equiv u_{3k+2}(\bmod \; 5).$

Như vậy $u_{3k+2} \vdots 5 , k \in \mathbb{N}.$

Với k = 671, ta có $u_{2015} \vdots 5$. Vậy ta có điều phải chứng minh.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Toanthinh108: 28-07-2015 - 22:31