Chủ đề này có 3 trả lời

[Hoang Nhat Tuan]

 Cho $a,b,c>0$, chứng minh:

1.$\frac{a^5}{a^4+b^4}+\frac{b^5}{b^4+c^4}+\frac{c^5}{c^4+a^4}\geq \frac{a+b+c}{2}$

2.$\frac{a^6}{a^5+b^5}+\frac{b^6}{b^5+c^5}+\frac{c^6}{c^5+a^5}\geq \frac{a+b+c}{2}$

[Nguyen Minh Hai]

 Cho $a,b,c>0$, chứng minh:

1.$\frac{a^5}{a^4+b^4}+\frac{b^5}{b^4+c^4}+\frac{c^5}{c^4+a^4}\geq \frac{a+b+c}{2}$

2.$\frac{a^6}{a^5+b^5}+\frac{b^6}{b^5+c^5}+\frac{c^6}{c^5+a^5}\geq \frac{a+b+c}{2}$

Ta xé tbài toán tổng quát sau:

Với $a,b,c>0$ thì ta có bất đẳng thức:     

           $\frac{a^{n+1}}{a^n+b^n}+\frac{b^{n+1}}{b^n+c^n}+\frac{c^{n+1}}{c^n+a^n} \geqslant \frac{a+b+c}{2}$           $\color{red}{(1)}$

 

Nhân vào 2 vế của $\color{red}{(1)}$ với $a^n+b^n+c^n$ ta thu được BĐT tương đương:

$\sum a^{n+1}+\sum \frac{a^{n+1}c^n}{a^n+b^n} \geqslant \frac{(a+b+c)( a^n+b^n+c^n)}{2}$

 

Sử dụng BĐT $Cauchy-Schwarz$ và $AM-GM$ ta có:

$\sum \frac{a^{n+1}c^n}{a^n+b^n} \geqslant \frac{\left ( \sum \sqrt{a^{n+1}c^{n+1}} \right )^2}{\sum c(a^n+b^n)}$

                       $\geqslant \sum \sqrt{a^{n+1}c^{n+1}}-\frac{1}{4}\sum c(a^n+b^n)$

 

Do đó ta cần chứng minh:

$4\sum a^{n+1}+4\sum \sqrt{a^{n+1}c^{n+1}}-\sum c(a^n+b^n) \geq 2(a+b+c)(a^n+b^n+c^n)$

 

$\Leftrightarrow 4\sum a^{n+1}+4\sum \sqrt{a^{n+1}b^{n+1}}-\sum ab(a^{n-1}+b^{n-1}) \geqslant 2\sum a^{n+1}+2\sum ab{a^{n-1}+b^{n-1}}$

 

$\Leftrightarrow \sum \left [ a^{n+1}+b^{n+1}+3\sqrt{a^{n+1}b^{n+1}}-3ab(a^{n-1}+b^{n-1}) \right ] \geqslant 0$

 

Đặt $\sqrt{a}=x;\sqrt{b}=y;\sqrt{c}=z$, ta cần chứng minh:

$\sum \left [ x^{2n+2}+y^{2n+2}+4x^{n+1}y^{n+1}-3x^2y^2(x^{2n-2}+y^{2n-2}) \right ] \geqslant 0$

 

Đến đây ta có thể biến đổi tương đương.... 

Còn với 2 bài toán của Tuấn thì ta biến đổi thành:

$(x-y)^2(x^8+y^8+2x^7+2xy^7-2x^5y^3-2x^3y^5-4x^4y^4) \geqslant 0$   với $n=4$

và $(x-y)^2(x+y)^2(x^8+y^8-x^6y^2-x^2y^6-3x^4y^4) \geqslant 0$          với $n=5$

 

Spoiler

Ai có cách xử lí đoạn cuối hay hơn không   

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Minh Hai: 20-07-2015 - 16:56

[Hoang Nhat Tuan]

Ta xé tbài toán tổng quát sau:

Với $a,b,c>0$ thì ta có bất đẳng thức:     

           $\frac{a^{n+1}}{a^n+b^n}+\frac{b^{n+1}}{b^n+c^n}+\frac{c^{n+1}}{c^n+a^n} \geqslant \frac{a+b+c}{2}$           $\color{red}{(1)}$

 

Nhân vào 2 vế của $\color{red}{(1)}$ với $a^n+b^n+c^n$ ta thu được BĐT tương đương:

$\sum a^{n+1}+\sum \frac{a^{n+1}c^n}{a^n+b^n} \geqslant \frac{(a+b+c)( a^n+b^n+c^n)}{2}$

 

Sử dụng BĐT $Cauchy-Schwarz$ và $AM-GM$ ta có:

$\sum \frac{a^{n+1}c^n}{a^n+b^n} \geqslant \frac{\left ( \sum \sqrt{a^{n+1}c^{n+1}} \right )^2}{\sum c(a^n+b^n)}$

                       $\geqslant \sum \sqrt{a^{n+1}c^{n+1}}-\frac{1}{4}\sum c(a^n+b^n)$

 

Do đó ta cần chứng minh:

$4\sum a^{n+1}+4\sum \sqrt{a^{n+1}c^{n+1}}-\sum c(a^n+b^n) \geq 2(a+b+c)(a^n+b^n+c^n)$

 

$\Leftrightarrow 4\sum a^{n+1}+4\sum \sqrt{a^{n+1}b^{n+1}}-\sum ab(a^{n-1}+b^{n-1}) \geqslant 2\sum a^{n+1}+2\sum ab{a^{n-1}+b^{n-1}}$

 

$\Leftrightarrow \sum \left [ a^{n+1}+b^{n+1}+3\sqrt{a^{n+1}b^{n+1}}-3ab(a^{n-1}+b^{n-1}) \right ] \geqslant 0$

 

Đặt $\sqrt{a}=x;\sqrt{b}=y;\sqrt{c}=z$, ta cần chứng minh:

$\sum \left [ x^{2n+2}+y^{2n+2}+4x^{n+1}y^{n+1}-3x^2y^2(x^{2n-2}+y^{2n-2}) \right ] \geqslant 0$

 

Đến đây ta có thể biến đổi tương đương.... 

Còn với 2 bài toán của Tuấn thì ta biến đổi thành:

$(x-y)^2(x^8+y^8+2x^7+2xy^7-2x^5y^3-2x^3y^5-4x^4y^4) \geqslant 0$   với $n=4$

và $(x-y)^2(x+y)^2(x^8+y^8-x^6y^2-x^2y^6-3x^4y^4) \geqslant 0$          với $n=5$

 

Spoiler

Ai có cách xử lí đoạn cuối hay hơn không   

Bài toán tổng quát không đúng đâu, ví dụ với $n=7$ thì khi thay $a=1,3;b=0,6;c=1$ vào thì BĐT sai

[Nguyen Minh Hai]

Bài toán tổng quát không đúng đâu, ví dụ với $n=7$ thì khi thay $a=1,3;b=0,6;c=1$ vào thì BĐT sai

Thế thì ta đặt số mũ là $n$ để giải chung cho cả 2 bài toán vậy   

Spoiler

Lần đầu thử mấy số to to thấy đúng nên mới ra bài tổng quát vậy