Chủ đề này có 2 trả lời

[ttztrieuztt]

Chứng minh BĐT sau với mọi số thực x , y

$-\frac{1}{4}\leq \frac{(x^{2}-y^{2})(1-x^{2}y^{2})}{(1+x^{2})^{2}(1+y^{2})^{2}}\leq \frac{1}{4}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoanglong2k: 21-07-2015 - 10:11

[VuHongQuan]

đặt $x=\tan\alpha \\ y=\tan \beta$ rồi biến đổi .

[Nguyen Minh Hai]

Chứng minh BĐT sau với mọi số thực x , y

$-\frac{1}{4}\leq \frac{(x^{2}-y^{2})(1-x^{2}y^{2})}{(1+x^{2})^{2}(1+y^{2})^{2}}\leq \frac{1}{4}$

Ta đặt: $x^2=a$ và $y^2=b$ khi đó $a,b \geqslant 0$

BĐT cần chứng minh trở thành:           $\frac{-1}{4} \leqslant \frac{(a-b)(1-ab)}{(1+a)^2(1+b)^2} \leqslant \frac{1}{4}$

Chứng minh:            $\frac{-1}{4} \leqslant \frac{(a-b)(1-ab)}{(1+a)^2(1+b)^2}$

 

$\Leftrightarrow 4(a-b)(1-ab)+(1+a)^2(1+b)^2 \geqslant 0$

 

$\Leftrightarrow (a^2b^2+a^2-2a^2b)+(b^2-2b+1)+(6ab^2+4ab+6a) \geqslant 0$

 

$\Leftrightarrow (ab-a)^2+a(6b^2+4b+6)+(b-1)^2 \geqslant 0$               (luôn đúng)

Xảy ra đẳng thức khi $a=0,b=1$ $\Leftrightarrow a=0,b=1$ hoặc $a=0;b=-1$

 

Chứng minh: $\frac{(a-b)(1-ab)}{(1+a)^2(1+b)^2} \leqslant \frac{1}{4}$

 

$\Leftrightarrow (1+a)^2(1+b)^2-4(a-b)(1-ab) \geqslant0$

 

$\Leftrightarrow (a^2b^2-2ab^2+b^2)+(6a^2b+4ab+6b)+(a^2-2a+1) \geqslant 0$

 

$\Leftrightarrow (ab-b)^2+b(6a^2+4a+6)+(a-1)^2 \geqslant 0$                  (luôn đúng)

Xảy ra đẳng thức khi $a=1;b=0$ $\Leftrightarrow a=-1$ hoặc $a=1$ ; $b=0$