Chủ đề này có 1 trả lời

[taideptrai]

Tìm tất cả các hàm f(x): $[1;+\infty )\rightarrow [1;+\infty )$

      1 ) $x\leq f(x)\leq 2x+2$

      2) $xf(x+1)=(f(x)^{2})-1$     

[Juliel]

Tìm tất cả các hàm f(x): $[1;+\infty )\rightarrow [1;+\infty )$

      1 ) $x\leq f(x)\leq 2x+2$

      2) $xf(x+1)=(f(x)^{2})-1$     

Lời giải :

 

Ta có :

$$x+1\leq f(x+1)\leq 2x+4\;\;\forall x\in \left [ 1,+\infty \right )$$

$$\Rightarrow x^2+x\leq xf(x+1)=f^2(x)-1\leq 2x^2+4x,\;\forall x\in \left [ 1,+\infty \right )$$

$$\Rightarrow \left ( x+\frac{1}{4} \right )^2+\dfrac{3}{4}\leq f^2(x)\leq 2(x+1)^2-2,\;\forall x\in \left [ 1,+\infty \right )$$

$$\Rightarrow x+\dfrac{1}{4}\leq f(x)\leq \sqrt{2}(x+1),\;\forall x\in \left [ 1,+\infty \right )$$

$$\Rightarrow \frac{x+1}{\sqrt{2}}\leq f(x)\leq \sqrt{2}(x+1),\;\forall x\in \left [1,+\infty \right )$$

 

Thực hiện liên tiếp quá trình này, ta được :

$$\dfrac{x+1}{\sqrt[2^n]{2}}\leq f(x)\leq \sqrt[2^n]{2}(x+1),\;\forall x\in \left [ 1,+\infty \right )$$

Với mỗi $x$ thuộc nửa khoảng từ $1$ tới dương vô cực, ta cho $n\rightarrow +\infty$ ta được :

$$x+1\leq f(x)\leq x+1,\;\forall x\in \left [ 1,+\infty \right )$$

Như vậy ta phải có :

$$f(x)=x+1,\;\forall x\in \left [ 1,+\infty \right )$$

Thử lại thấy thoả. Đó là đáp số duy nhất của bài toán.