Đề thi Olympic Gặp gỡ Toán học 2015 - Khối 11
Thời gian làm bài: 210 phút.
Bài 1. Cho $a<b<c$ là là ba nghiệm của phương trình $x^3-3x+1=0$.
- Hãy tính $A= \frac{1-a}{a+1}+ \frac{1-b}{b+1}+ \frac{1-c}{c+1}$;
- Lập phương trình bậc 3 có ba nghiệm $a^2-2,b^2-2,c^2-2$;
- Chứng minh rằng $a^2-c=b^2-a=c^2-b=2$.
Bài 2. Xét hai dãy số $(a_n)$ và $(b_n)$ thoả mãn $a_1=a_2=1,a_{n+2}=a_{n+1}+a_n, \forall n \ge 1$ và $b_1=1,b_2=3,b_{n+2}=b_{n+1}+b_n, \forall n \ge 1$.
- Chứng minh rằng $b_n-5a_n^2=4(-1)^n$ với mọi $n$ nguyên dương.
- Tìm tất cả các giá trị của $n$ sao cho phương trình $a_nx+b_ny=2015$ có nghiệm nguyên $(x,y)$.
Bài 3. Cho đoạn thẳng $BC$ và điểm $A$ di chuyển trên đường tròn $\omega$ đường kính $BC$ sao cho $\angle ABC< \angle ACB$. Gọi $D$ là điểm đối xứng với $A$ qua $BC$ và $E$ là hình chiếu của $A$ trên $BD$, $F$ là trung điểm $AE$ và $BF$ cắt $\omega$ tại điểm thứ hai là $G$. Tiếp tuyến tại $A$ với $\omega$ cắt $BC$ tại $T$.
- Chứng minh $BC$ tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác $AFG$.
- Gọi $O_1,O_2$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác $AFG$ và $ATG$. Chứng minh rằng đường thẳng $O_1O_2$ đi qua một điểm cố định khi $A$ thay đổi.
Bài 4. Tìm số nguyên dương $n$ lớn nhất sao cho với mọi tập hợp $S$ gồm $2015$ số nguyên phân biệt thì luôn tồn tại hai tập con khác nhau (không nhất thiết phải rời nhau) của $S$ mà mỗi tập có tổng các phần tử chia hết cho $n$.