Chủ đề này có 4 trả lời

[royal1534]

Cho $(a+b)(b+c)(c+a)=1$

Chứng minh $ab+bc+ca\leq\frac{3}{4}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoanglong2k: 28-07-2015 - 15:19

[Hoang Nhat Tuan]

Cho $(a+b)(b+c)(c+a)=1$

Chứng minh $ab+bc+ca$$\leq$$\frac{3}{4}$

Ta có: $1=(a+b)(b+c)(c+a)=(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc\geq \frac{8(a+b+c)(ab+bc+ca)}{9}$

$=>9\geq 8(a+b+c)(ab+bc+ca)\geq 8\sqrt{3(ab+bc+ca)}(ab+bc+ca)$

Đến đây bạn đặt: $t=ab+bc+ca$ sẽ ra 

[gianglqd]

Ta có: $1=(a+b)(b+c)(c+a)=(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc\geq \frac{8(a+b+c)(ab+bc+ca)}{9}$

$=>9\geq 8(a+b+c)(ab+bc+ca)\geq 8\sqrt{3(ab+bc+ca)}(ab+bc+ca)$

Đến đây bạn đặt: $t=ab+bc+ca$ sẽ ra 

Phần màu đỏ là sao bạn nhỉ

[Hoang Nhat Tuan]

Phần màu đỏ là sao bạn nhỉ

Bằng cách biến đổi ta có: $(a+b)(b+c)(c+a)=(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc$

Áp dụng AM-GM: $(a+b+c)(ab+bc+ca)\geq 3.\sqrt[3]{abc}.3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}=9abc=>abc\leq \frac{(a+b+c)(ab+bc+ca)}{9}$ 

Dẫn đến: $(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc\geq \frac{8(a+b+c)(ab+bc+ca)}{9}$

[Dinh Xuan Hung]

Phần màu đỏ là sao bạn nhỉ

 

$9(a+b)(b+c)(c+a)\geq 8(a+b+c)(ab+bc+ac)$

$\Leftrightarrow 9.2abc+9(a^2b+b^2c+c^2a+ab^2+bc^2+ca^2)\geq 8.3abc+8(a^2b+a^2c+ab^2+b^2c+c^2b+c^2a)$

$\Leftrightarrow a^2b+b^2c+c^2a+ab^2+bc^2+ca^2\geq 6abc$

Mặt khác áp dụng BĐT $AM-GM$:$a^2b+b^2c+c^2a+ab^2+bc^2+ca^2\geq 6\sqrt[6]{(abc)^6}=6abc$

Do đó ta có ĐPCM

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 28-07-2015 - 15:57