Chủ đề này có 5 trả lời

[Le Dinh Hai]

Cho $x,y,z\geq 1$.Giải hpt:

$\left\{\begin{matrix} x^{2}+3y^{2}+5z^{2}=18 & \\ 2(x+y+z)^{2}+\prod(x+y)=\sum6xy+8xyz & \end{matrix}\right.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Le Dinh Hai: 29-07-2015 - 19:39

[Bonjour]

Cho $x,y,z\geq 0$.Giải hpt:

$\{x^{2}+3y^{2}+5z^{2}=9 \left \{ 2(x+y+z)^{2}+\prod(x+y)=\sum6xy+8xy\right.$

Phương trình đầu chưa có vế phải

[Le Dinh Hai]

Đáp án

Ta có $2(x+y+z)^{2}+\prod (x+y)=\sum 6xy +8xyz$

<=>$2(x+y+z)^{2}+\sum x^{2}y+ \sum xy^{2}+2xyz=\sum 6xy +8xyz$

<=>$2(x+y+z)^{2}+\sum9x +9+\sum3xy+(xy+yz+zx)(x+y+z)=\sum9x +\sum9xy +9+9xyz$

<=>$[2(x+y+z)+3](x+y+z)+(xy+yz+zx)(x+y+z+3)=9\prod (x+1)$

<=>$[\sum(1+x)(1+y)](x+y+z+3)=9\prod (x+1)$

<=>$\frac{\sum(1+x)(1+y)}{\prod (1+x)}=\frac{9}{x+y+z+3}$

<=>$\sum \frac{1}{1+x}=\frac{9}{x+y+z+3}\leq \frac{3}{1+\sqrt[3]{xyz}}$

Lại có $\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}\geq \frac{2}{1+\sqrt{ab}}$  (*)

Tương tự chứng ming$\sum \frac{1}{1+x}\geq \frac{3}{1+\sqrt[3]{xyz}}$  (2*)

Từ (*) và (2*) =>$\sum \frac{1}{1+x}=\frac{3}{1+\sqrt[3]{xyz}}$

Dấu $"="$ xảy ra tại $x=y=z$

mà $x^{2}+3y^{2}+5z^{2}=18$

=>$x=y=z=1,5$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Le Dinh Hai: 29-07-2015 - 19:40

[Hoang Nhat Tuan]

Đáp án

Ta có $2(x+y+z)^{2}+\prod (x+y)=\sum 6xy +8xyz$

<=>$2(x+y+z)^{2}+\sum x^{2}y+ \sum xy^{2}+2xyz=\sum 6xy +8xyz$

<=>$2(x+y+z)^{2}+\sum9x +9+\sum3xy+(xy+yz+zx)(x+y+z)=\sum9x +\sum9xy +9+9xyz$

<=>$[2(x+y+z)+3](x+y+z)+(xy+yz+zx)(x+y+z+3)=9\prod (x+1)$

<=>$[\sum(1+x)(1+y)](x+y+z+3)=9\prod (x+1)$

<=>$\frac{\sum(1+x)(1+y)}{\prod (1+x)}=\frac{9}{x+y+z+3}$

<=>$\sum \frac{1}{1+x}=\frac{9}{x+y+z+3}\leq \frac{3}{1+\sqrt[3]{xyz}}$

Lại có $\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}\geq \frac{2}{1+\sqrt{xy}}$  (*)

Tương tự chứng ming$\sum \frac{1}{1+x}\geq \frac{3}{1+\sqrt[3]{xyz}}$  (2*)

Từ (*) và (2*) =>$\sum \frac{1}{1+x}=\frac{3}{1+\sqrt[3]{xyz}}$

Dấu $"="$ xảy ra tại $x=y=z$

mà $x^{2}+3y^{2}+5z^{2}=9$

=>$x=y=z=1$

Lời giải sai, để chứng minh $\sum \frac{1}{1+x}\geq \frac{3}{1+\sqrt[3]{xyz}}$ cần có thêm điều kiện $xyz \geq 1$ 

Dùng BĐT C-S, sẽ đúng hơn

Lỗi sai thứ 2 nghiêm trọng hơn, VP của phương trình thứ 2 trong lời giải khác đề

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Nhat Tuan: 28-07-2015 - 22:22

[Le Dinh Hai]

Lời giải sai, để chứng minh $\sum \frac{1}{1+x}\geq \frac{3}{1+\sqrt[3]{xyz}}$ cần có thêm điều kiện $xyz \geq 1$ 

$\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}\geq \frac{2}{1+\sqrt{xy}}$

<=>$(2+x+y)(1+\sqrt{xy})\geq 2(1+x)(1+y)$

<=>$x\sqrt{xy}+y\sqrt{xy}-2xy\geq 0$

<=>$\sqrt{xy}(\sqrt{x}-\sqrt{y})^{2}\geq 0$(lđ)

[Hoang Nhat Tuan]

$\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}\geq \frac{2}{1+\sqrt{xy}}$

<=>$(2+x+y)(1+\sqrt{xy})\geq 2(1+x)(1+y)$

<=>$x\sqrt{xy}+y\sqrt{xy}-2xy\geq 0$

<=>$\sqrt{xy}(\sqrt{x}-\sqrt{y})^{2}\geq 0$(lđ)

Phân tích sai rồi nhé:

$\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}-\frac{2}{1+\sqrt{xy}}=\frac{(\sqrt{x}-\sqrt{y})^2(\sqrt{xy}-1)}{(x+1)(y+1)(1+\sqrt{xy})}$

Còn nếu PT thứ 2 ở bên VP là $8xyz$ thì dễ dàng chứng minh bằng 2 lần dùng AM-GM