Chủ đề này có 1 trả lời

[viet1983]

$${{{{1987}^{987}}^{87}}^7} : 7^{87}$$

[hoctrocuaHolmes]

$${{{{1987}^{987}}^{87}}^7} : 7^{87}$$

 

Giải như sau:
Trước tiên ta chứng minh với $gcd(a,7)=1$ thì $a^{6.7^{k-1}}-1 \vdots 7^k$
Thật vậy ta có với $k=1$ đúng
Giả sử đúng đến $k=t$ thì $a^{6.7^{t-1}}-1 \vdots 7^t$
Ta sẽ cm $k=t+1$ đúng hay $a^{6.7^t}-1 \vdots 7^{t+1}$
Thật vậy $a^{6.7^t}-1=A^7-1=(A-1)(A^6+A^5+...+A+1)$ với $A=a^{6.7^{t-1}}$
Khi đó theo GTQN $A-1 \vdots 7^t$ và $A \equiv 1 \pmod{7} \Rightarrow A^6+A^5+...+A+1 \vdots 7$
Nên có $đpcm$
$$**********$$
Mặt khác ta có $987^{87^7}=987.987^{87^7-1}$
Vì $87^7-1>86$ và $987 \vdots 7$ do đó $987.987^{87^7-1}=987.7^{86}.k$
Như vậy $1987^{2.987.7^{86}.k}-1=(1987^{k.329})^{6.7^{86}}-1$
Theo bổ đề trên suy ra $(1987^{k.329})^{6.7^{86}}-1 \vdots 7^{87}$
Do đó $1987^{2.987.7^{86}.k}-1 \vdots 7^{87}$
$\Rightarrow (1987^{987^{87^7}}-1)(1987^{987^{87^7}}+1) \vdots 7^{87}$
Lại có $1987^{987^{87^7}}+1 \vdots (1987+1) \vdots 7$
Suy ra $gcd(1987^{987^{87^7}}-1,7)=1$ do đó $(1987^{987^{87^7}}+1) \vdots 7^{87}$
Vậy đáp số là dư $-1$ (hay $7^{81}-1$)

P/S cách khác
Ta cm $1987^{7^{87^7}}+1 \vdots 7^{87}$
Thấy $1987^{7}+1 \vdots 7$
Quy nạp tương tự trên có ngay $1987^{7^{87^7}}+1 \vdots 7^{87}$
Mặt khác $1987^{987^{87^7}}+1 \vdots 1987^{7^{87^7}}+1 \vdots 7^{87}$
Do đó cũng ra đáp số là $-1$