Chứng minh với mọi a,b,c dương , $a+b+c=3$ thì:
$\frac{1}{1+ab}+\frac{1}{1+bc}+\frac{1}{1+ca}\geq \frac{9}{2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})}$
(trích trong "sữ dụng AM-GM để chứng minh bất đẳng thức" )
Chứng minh với mọi a,b,c dương , $a+b+c=3$ thì:
$\frac{1}{1+ab}+\frac{1}{1+bc}+\frac{1}{1+ca}\geq \frac{9}{2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})}$
(trích trong "sữ dụng AM-GM để chứng minh bất đẳng thức" )
$VT=3-\sum \frac{ab}{1+ab}\geq 3-\frac{\sum \sqrt{ab}}{2}$
Cần chứng minh: $3-\frac{\sum \sqrt{ab}}{2}\geq \frac{9}{2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})}$
$<=>6-\sum \sqrt{ab}\geq \frac{9}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}$
$<=>(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})(3-\sum \sqrt{ab})\geq 9 -3\sum \sqrt{a}$
$<=>(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})(\sum \sqrt{a}+3)(3-\sum \sqrt{ab})\geq 3(9-(\sum \sqrt{a})^2)=6(3-\sum \sqrt{ab})$
Nếu $\sum \sqrt{ab}=3$ thì BĐT đúng
TH còn lại, cần chứng minh:
$(\sum \sqrt{a})(\sum \sqrt{a}+3)\geq 6$
$<=>x^2+3x\geq 6$ ( với $x= \sum \sqrt{a}$ )
Mà: $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\geq \sqrt{a+b+c}=\sqrt{3}>\frac{\sqrt{33}-3}{2}$
=> ĐPCM
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh