Chủ đề này có 1 trả lời

[quangnghia]

Chứng minh với mọi a,b,c dương , $a+b+c=3$ thì:

$\frac{1}{1+ab}+\frac{1}{1+bc}+\frac{1}{1+ca}\geq \frac{9}{2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})}$

        (trích trong "sữ dụng AM-GM để chứng minh bất đẳng thức" )

[Hoang Nhat Tuan]

$VT=3-\sum \frac{ab}{1+ab}\geq 3-\frac{\sum \sqrt{ab}}{2}$

Cần chứng minh: $3-\frac{\sum \sqrt{ab}}{2}\geq \frac{9}{2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})}$

$<=>6-\sum \sqrt{ab}\geq \frac{9}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}$

$<=>(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})(3-\sum \sqrt{ab})\geq 9 -3\sum \sqrt{a}$

$<=>(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})(\sum \sqrt{a}+3)(3-\sum \sqrt{ab})\geq 3(9-(\sum \sqrt{a})^2)=6(3-\sum \sqrt{ab})$

Nếu $\sum \sqrt{ab}=3$ thì BĐT đúng

TH còn lại, cần chứng minh:

$(\sum \sqrt{a})(\sum \sqrt{a}+3)\geq 6$

$<=>x^2+3x\geq 6$ ( với $x= \sum \sqrt{a}$ )

Mà: $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\geq \sqrt{a+b+c}=\sqrt{3}>\frac{\sqrt{33}-3}{2}$

=> ĐPCM