Chủ đề này có 2 trả lời

[Nee Kim]

Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $x^2+y^2+z^2\geq 1$. Tìm GTNN của biểu thức:

$B=\frac{x^3}{y^2+z^2}+\frac{y^3}{z^2+x^2}+\frac{z^3}{x^2+y^2}$

 

[Dinh Xuan Hung]

Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $x^2+y^2+z^2\geq 1$. Tìm GTNN của biểu thức:

$B=\frac{x^3}{y^2+z^2}+\frac{y^3}{z^2+x^2}+\frac{z^3}{x^2+y^2}$

Áp dụng BĐT $C-S$ ta có:

$$B=\sum \frac{x^3}{y^2+z^2}=\sum \frac{x^4}{xy^2+xz^2}\geq \frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{x^2y+y^2z+z^2x+xy^2+yz^2+zx^2}$$

Lại có áp dụng BĐT $C-S$ $x^2y+y^2z+z^2x\leq \sqrt{(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)(x^2+y^2+z^2)}\leq \sqrt{\frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{3}.(x^2+y^2+z^2)}=\sqrt{\frac{(x^2+y^2+z^2)^3}{3}}$

CMTT:$xy^2+yz^2+zx^2\leq \sqrt{\frac{(x^2+y^2+z^2)^3}{3}}$

$\Rightarrow \sum xy^2+\sum x^2y\leq 2\sqrt{\frac{(x^2+y^2+z^2)^3}{3}}\Rightarrow B\geq \frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{2\sqrt{\frac{(x+y+z)^3}{3}}}=\frac{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}{\frac{2}{\sqrt{3}}}\geq \frac{1}{2/\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

[Senju Hashirama]

Không mất tính tổng quát , giả sử : $x\geq y\geq z\Rightarrow x^{3}\geq y^{3}\geq z^{3}$ và $\frac{1}{y^{2}+z^{2}}\geq \frac{1}{z^{2}+x^{2}}\geq \frac{1}{x^{2}+y^{2}}$

Áp dụng bđt CHEBYSHEV, ta có :

$\sum \frac{x^{3}}{y^{2}+z^{2}}\geq \frac{1}{3}.\left ( \sum x^{3} \right )\left ( \sum \frac{1}{y^{2}+z^{2}} \right )$

Áp dụng bđt HOLDER, ta có:

$3\left ( \sum x^{3} \right )^{2}\geq \left ( \sum x^{2} \right )^{3}\Rightarrow \sum x^{3}\geq \frac{\sum x^{2}}{\sqrt{3}}.\sqrt{\sum x^{2}}$

Lại có : $\sum \frac{1}{x^{2}+y^{2}}\geq \frac{9}{2\sum x^{2}}$

$\Rightarrow \sum \frac{x^{3}}{y^{2}+z^{2}}\geq \frac{\sqrt{3}}{2}$

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Senju Hashirama: 29-07-2015 - 19:33