Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $ab+bc+ca=abc$. CMR
$\frac{a^4+b^4}{ab(a^3+b^3)}+\frac{b^4+c^4}{bc(b^3+c^3)}+\frac{c^4+a^4}{ca(c^3+a^3)}\geq 1$
CMR $\sum \frac{a^4+b^4}{ab(a^3+b^3)}\geq 1$
Bắt đầu bởi thichmontoan, 30-07-2015 - 14:59
#2
Đã gửi 30-07-2015 - 18:07
hoctrocuaHolmes
-
- Thành viên
-
- 1013 Bài viết
Thượng úy
Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $ab+bc+ca=abc$. CMR
$\frac{a^4+b^4}{ab(a^3+b^3)}+\frac{b^4+c^4}{bc(b^3+c^3)}+\frac{c^4+a^4}{ca(c^3+a^3)}\geq 1$
Áp dụng Chebyshev cho $2$ bộ số ta có $\frac{a^{4}+b^{4}}{a^{3}+b^{3}}\geq \frac{a+b}{2}$
Thiết lập các bất đẳng thức tương tự rồi cộng vế với vế ta có
$\frac{a^4+b^4}{ab(a^3+b^3)}+\frac{b^4+c^4}{bc(b^3+c^3)}+\frac{c^4+a^4}{ca(c^3+a^3)}\geq \frac{a+b}{2ab}+ \frac{c+b}{2cb}+ \frac{a+c}{2ac}=\frac{2(ab+bc+ca)}{2abc}=\frac{2abc}{2abc}=1$
(kết hợp với gt $ab+bc+ca=abc$)
Dấu''='' xảy ra khi $a=b=c=3$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi votruc: 30-07-2015 - 18:08
- rainbow99, Nguyen Minh Hai và LeHKhai thích
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
