Cho $a,b,c>0$
$\frac{3}{2a}+\frac{3}{2b}+\frac{3}{2c}-\frac{a+b+c}{2}$$\geq$ $3$
#1
Đã gửi 30-07-2015 - 18:37
#2
Đã gửi 30-07-2015 - 20:25
Cho $a,b,c>0$
$abc=1$Chứng minh $\frac{3}{2a}+\frac{3}{2b}+\frac{3}{2c}-\frac{a+b+c}{2}$$\geq$ $3$
Bài này khó đấy, nhưng mình giải được rồi
Áp dụng BĐT AM - GM, ta có :
Ta có : $\frac{3}{2a} + \frac{3}{2b} + \frac{3}{2c} \geq 3.\sqrt[3]{\frac{27}{8abc}} = 3.\sqrt[3]{\frac{27}{8}} = 3. \frac{3}{2} = \frac{9}{2}$
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a = b = c = 1$ (1)
Lại có : $3 + \frac{a + b + c}{2} \geq 3 + \frac{3.\sqrt[3]{abc}}{2} = 3 + \frac{3}{2} = \frac{9}{2}$
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a = b = c = 1$ (2)
Từ (1) và (2)
$\Rightarrow \frac{3}{2a} + \frac{3}{2b} + \frac{3}{2c} = 3 + \frac{a + b + c}{2} = \frac{9}{2} $
$\Rightarrow \frac{3}{2a} + \frac{3}{2b} + \frac{3}{2c} - \frac{a + b + c}{2} = 3 \Leftrightarrow x = y = z = 1$ (*)
TH "=" xảy ra $\Leftrightarrow x = y = z = 1$
$\Rightarrow$ TH ">" xảy ra $\Leftrightarrow x \neq y \neq z \neq 1$
Gọi : a = 1 - x, b = 1 - y, c = 1 - z (0 < x,y,z < 1)
Già sử $\Rightarrow \frac{3}{2a} + \frac{3}{2b} + \frac{3}{2c} > 3 + \frac{a + b + c}{2}$
Ta có : $\frac{3}{2a} + \frac{3}{2b} + \frac{3}{2c} > \frac{3}{2} + \frac{3}{2} + \frac{3}{2} = \frac{9}{2}$
$3 + \frac{a + b + c}{2} = 3 + \frac{1 - x + 1 - y + 1 - z}{2} = 3 + \frac{3 - (x + y + z)}{2} < 3 + \frac{3}{2} = \frac{9}{2}$
$\Rightarrow$ BĐT đúng.
$\Rightarrow \frac{3}{2a} + \frac{3}{2b} + \frac{3}{2c} - \frac{a + b + c}{2} > 3 $ (**)
Từ (*) và (**)
$\Rightarrow \frac{3}{2a}+\frac{3}{2b}+\frac{3}{2c}-\frac{a+b+c}{2}$$\geq$ $3$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Silverbullet069: 30-07-2015 - 20:27
- royal1534 yêu thích
"I am the bone of my sword,
Unknown to Death, Nor known to Life,
So as I pray, unlimited blade works."
#3
Đã gửi 30-07-2015 - 21:34
Bài này khó đấy, nhưng mình giải được rồi
Áp dụng BĐT AM - GM, ta có :
Ta có : $\frac{3}{2a} + \frac{3}{2b} + \frac{3}{2c} \geq 3.\sqrt[3]{\frac{27}{8abc}} = 3.\sqrt[3]{\frac{27}{8}} = 3. \frac{3}{2} = \frac{9}{2}$
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a = b = c = 1$ (1)
Lại có : $3 + \frac{a + b + c}{2} \geq 3 + \frac{3.\sqrt[3]{abc}}{2} = 3 + \frac{3}{2} = \frac{9}{2}$
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a = b = c = 1$ (2)
Từ (1) và (2)
$\Rightarrow \frac{3}{2a} + \frac{3}{2b} + \frac{3}{2c} = 3 + \frac{a + b + c}{2} = \frac{9}{2} $
Chưa chắc đâu bạn
- gianglqd yêu thích
Mọi việc làm thành công trên đời đều bắt nguồn từ sự hy vọng.
#4
Đã gửi 30-07-2015 - 22:01
Bài này khó đấy, nhưng mình giải được rồi
Áp dụng BĐT AM - GM, ta có :
Ta có : $\frac{3}{2a} + \frac{3}{2b} + \frac{3}{2c} \geq 3.\sqrt[3]{\frac{27}{8abc}} = 3.\sqrt[3]{\frac{27}{8}} = 3. \frac{3}{2} = \frac{9}{2}$
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a = b = c = 1$ (1)
Lại có : $3 + \frac{a + b + c}{2} \geq 3 + \frac{3.\sqrt[3]{abc}}{2} = 3 + \frac{3}{2} = \frac{9}{2}$
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a = b = c = 1$ (2)
Từ (1) và (2)
$\Rightarrow \frac{3}{2a} + \frac{3}{2b} + \frac{3}{2c} = 3 + \frac{a + b + c}{2} = \frac{9}{2} $
$\Rightarrow \frac{3}{2a} + \frac{3}{2b} + \frac{3}{2c} - \frac{a + b + c}{2} = 3 \Leftrightarrow x = y = z = 1$ (*)
TH "=" xảy ra $\Leftrightarrow x = y = z = 1$
$\Rightarrow$ TH ">" xảy ra $\Leftrightarrow x \neq y \neq z \neq 1$
Gọi : a = 1 - x, b = 1 - y, c = 1 - z (0 < x,y,z < 1)
Già sử $\Rightarrow \frac{3}{2a} + \frac{3}{2b} + \frac{3}{2c} > 3 + \frac{a + b + c}{2}$
Ta có : $\frac{3}{2a} + \frac{3}{2b} + \frac{3}{2c} > \frac{3}{2} + \frac{3}{2} + \frac{3}{2} = \frac{9}{2}$
$3 + \frac{a + b + c}{2} = 3 + \frac{1 - x + 1 - y + 1 - z}{2} = 3 + \frac{3 - (x + y + z)}{2} < 3 + \frac{3}{2} = \frac{9}{2}$
$\Rightarrow$ BĐT đúng.
$\Rightarrow \frac{3}{2a} + \frac{3}{2b} + \frac{3}{2c} - \frac{a + b + c}{2} > 3 $ (**)
Từ (*) và (**)
$\Rightarrow \frac{3}{2a}+\frac{3}{2b}+\frac{3}{2c}-\frac{a+b+c}{2}$$\geq$ $3$
Sorry, nhưng rất tiếc mình phải nói bạn đã sai hoàn toàn
Làm sao có $a<1,b<1,c<1$ mà bạn dám đặt $a=1-x,b=1-y,c=1-z$ kèm theo điều kiện $x,y,z>0$
Nếu $a=9,b=\frac{1}{9},c=1$ thì vẫn có $abc=1$ nhưng $x=-8<0$
P.s: Hic, dùng dồn biến và p,q,r cũng thất bại. BĐT trên chặt quá
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 30-07-2015 - 22:03
- gianglqd yêu thích
#5
Đã gửi 30-07-2015 - 22:47
Nhờ Mod THCS ẩn hộ mình bài này, bấm nhầm Gửi
Chờ đã, ý bạn nói là từ đầu đã không thể giải được bài này ư ?
"I am the bone of my sword,
Unknown to Death, Nor known to Life,
So as I pray, unlimited blade works."
#6
Đã gửi 31-07-2015 - 14:33
Cho $a,b,c>0$
$abc=1$Chứng minh $\frac{3}{2a}+\frac{3}{2b}+\frac{3}{2c}-\frac{a+b+c}{2}$$\geq$ $3$
Chờ đã, ý bạn nói là từ đầu đã không thể giải được bài này ư ?
Thử với $a=b=\frac{1}{10},c=100$, VT<0
- Bonjour yêu thích
Issac Newton
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh