Chủ đề này có 5 trả lời

[royal1534]

Cho $a,b,c>0$ 

    $abc=1$ 

Chứng minh $\frac{3}{2a}+\frac{3}{2b}+\frac{3}{2c}-\frac{a+b+c}{2}$$\geq$ $3$

[Silverbullet069]

 

Cho $a,b,c>0$ 

    $abc=1$ 

Chứng minh $\frac{3}{2a}+\frac{3}{2b}+\frac{3}{2c}-\frac{a+b+c}{2}$$\geq$ $3$

 

Bài này khó đấy, nhưng mình giải được rồi

Áp dụng BĐT AM - GM, ta có :

Ta có : $\frac{3}{2a} + \frac{3}{2b} + \frac{3}{2c} \geq 3.\sqrt[3]{\frac{27}{8abc}} = 3.\sqrt[3]{\frac{27}{8}} = 3. \frac{3}{2} = \frac{9}{2}$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a = b = c = 1$ (1)

Lại có : $3 + \frac{a + b + c}{2} \geq 3 + \frac{3.\sqrt[3]{abc}}{2} = 3 + \frac{3}{2} = \frac{9}{2}$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a = b = c = 1$ (2)

Từ (1) và (2)

$\Rightarrow \frac{3}{2a} + \frac{3}{2b} + \frac{3}{2c} = 3 + \frac{a + b + c}{2} = \frac{9}{2} $

$\Rightarrow \frac{3}{2a} + \frac{3}{2b} + \frac{3}{2c} - \frac{a + b + c}{2} = 3 \Leftrightarrow x = y = z = 1$ (*)

TH "=" xảy ra $\Leftrightarrow x = y = z = 1$

$\Rightarrow$ TH ">" xảy ra $\Leftrightarrow x \neq y \neq z \neq 1$

Gọi : a = 1 - x, b = 1 - y, c = 1 - z (0 < x,y,z < 1)

Già sử $\Rightarrow \frac{3}{2a} + \frac{3}{2b} + \frac{3}{2c} > 3 + \frac{a + b + c}{2}$

Ta có : $\frac{3}{2a} + \frac{3}{2b} + \frac{3}{2c} > \frac{3}{2} + \frac{3}{2} + \frac{3}{2} = \frac{9}{2}$

$3 + \frac{a + b + c}{2} = 3 + \frac{1 - x + 1 - y + 1 - z}{2} = 3 + \frac{3 - (x + y + z)}{2} < 3 + \frac{3}{2} = \frac{9}{2}$

$\Rightarrow$ BĐT đúng.

$\Rightarrow \frac{3}{2a} + \frac{3}{2b} + \frac{3}{2c} - \frac{a + b + c}{2} > 3 $ (**)

Từ (*) và (**)

$\Rightarrow \frac{3}{2a}+\frac{3}{2b}+\frac{3}{2c}-\frac{a+b+c}{2}$$\geq$ $3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Silverbullet069: 30-07-2015 - 20:27

[daotuanminh]

Bài này khó đấy, nhưng mình giải được rồi

Áp dụng BĐT AM - GM, ta có :

Ta có : $\frac{3}{2a} + \frac{3}{2b} + \frac{3}{2c} \geq 3.\sqrt[3]{\frac{27}{8abc}} = 3.\sqrt[3]{\frac{27}{8}} = 3. \frac{3}{2} = \frac{9}{2}$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a = b = c = 1$ (1)

Lại có : $3 + \frac{a + b + c}{2} \geq 3 + \frac{3.\sqrt[3]{abc}}{2} = 3 + \frac{3}{2} = \frac{9}{2}$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a = b = c = 1$ (2)

Từ (1) và (2)

$\Rightarrow \frac{3}{2a} + \frac{3}{2b} + \frac{3}{2c} = 3 + \frac{a + b + c}{2} = \frac{9}{2} $

Chưa chắc đâu bạn 

[phamngochung9a]

Bài này khó đấy, nhưng mình giải được rồi

Áp dụng BĐT AM - GM, ta có :

Ta có : $\frac{3}{2a} + \frac{3}{2b} + \frac{3}{2c} \geq 3.\sqrt[3]{\frac{27}{8abc}} = 3.\sqrt[3]{\frac{27}{8}} = 3. \frac{3}{2} = \frac{9}{2}$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a = b = c = 1$ (1)

Lại có : $3 + \frac{a + b + c}{2} \geq 3 + \frac{3.\sqrt[3]{abc}}{2} = 3 + \frac{3}{2} = \frac{9}{2}$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a = b = c = 1$ (2)

Từ (1) và (2)

$\Rightarrow \frac{3}{2a} + \frac{3}{2b} + \frac{3}{2c} = 3 + \frac{a + b + c}{2} = \frac{9}{2} $

$\Rightarrow \frac{3}{2a} + \frac{3}{2b} + \frac{3}{2c} - \frac{a + b + c}{2} = 3 \Leftrightarrow x = y = z = 1$ (*)

TH "=" xảy ra $\Leftrightarrow x = y = z = 1$

$\Rightarrow$ TH ">" xảy ra $\Leftrightarrow x \neq y \neq z \neq 1$

Gọi : a = 1 - x, b = 1 - y, c = 1 - z (0 < x,y,z < 1)

Già sử $\Rightarrow \frac{3}{2a} + \frac{3}{2b} + \frac{3}{2c} > 3 + \frac{a + b + c}{2}$

Ta có : $\frac{3}{2a} + \frac{3}{2b} + \frac{3}{2c} > \frac{3}{2} + \frac{3}{2} + \frac{3}{2} = \frac{9}{2}$

$3 + \frac{a + b + c}{2} = 3 + \frac{1 - x + 1 - y + 1 - z}{2} = 3 + \frac{3 - (x + y + z)}{2} < 3 + \frac{3}{2} = \frac{9}{2}$

$\Rightarrow$ BĐT đúng.

$\Rightarrow \frac{3}{2a} + \frac{3}{2b} + \frac{3}{2c} - \frac{a + b + c}{2} > 3 $ (**)

Từ (*) và (**)

$\Rightarrow \frac{3}{2a}+\frac{3}{2b}+\frac{3}{2c}-\frac{a+b+c}{2}$$\geq$ $3$

Sorry, nhưng rất tiếc mình phải nói bạn đã sai hoàn toàn   

Làm sao có $a<1,b<1,c<1$ mà bạn dám đặt $a=1-x,b=1-y,c=1-z$  kèm theo điều kiện $x,y,z>0$

Nếu $a=9,b=\frac{1}{9},c=1$ thì vẫn có $abc=1$ nhưng $x=-8<0$

 

 

 

 

P.s: Hic, dùng dồn biến và p,q,r cũng thất bại. BĐT trên chặt quá

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 30-07-2015 - 22:03

[Silverbullet069]

Nhờ Mod THCS ẩn hộ mình bài này, bấm nhầm Gửi

Chờ đã, ý bạn nói là từ đầu đã không thể giải được bài này ư ?

[Trang Luong]

 

Cho $a,b,c>0$ 

    $abc=1$ 

Chứng minh $\frac{3}{2a}+\frac{3}{2b}+\frac{3}{2c}-\frac{a+b+c}{2}$$\geq$ $3$

 

 

Chờ đã, ý bạn nói là từ đầu đã không thể giải được bài này ư ?

Thử với $a=b=\frac{1}{10},c=100$, VT<0