Chủ đề này có 3 trả lời

[luukhaiuy]

bai 1: cho a,b,c >0 thỏa mãn abc=1 chứng minh $(a+b).(b+c).(c+a)\geq 5(a+b+c)-7$

bài 2:  cho a,b,c >0 thỏa mãn abc=1chứng minh$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{3}{2}(a+b+c-1)$

[Hoang Nhat Tuan]

bai 1: cho a,b,c >0 thỏa mãn abc=1 chứng minh $(a+b).(b+c).(c+a)\geq 5(a+b+c)-7$

bài 2:  cho a,b,c >0 thỏa mãn abc=1chứng minh$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{3}{2}(a+b+c-1)$

Bài 1: Dùng đổi biến không được, nên dùng cách khác

Giả sử a=max {a,b,c} cộng với việc đặt $b+c=x$ thì $a\geq 1;b+c\geq 2\sqrt{bc}=\frac{2}{\sqrt{a}}$

BĐT trở thành:

$A=x(a^2+ax+bc)+7-5a-5x\geq 0$

$<=>a(x+\frac{a^2+bc-5}{2a})^2-\frac{(a^2+bc-5)^2}{4a}+7-5a\geq 0$

$x+\frac{a^2+bc-5}{2a}\geq \frac{2}{\sqrt{a}}+\frac{a^2+bc-5}{2a}=\frac{2}{\sqrt{a}}+\frac{a^2+\frac{1}{a}-5}{2a}>0$

Chỉ cần xét trường hợp $x=\frac{2}{\sqrt{a}}$

$A\geq 2(a^2+\frac{1}{a}-5)\frac{1}{\sqrt{a}}+11-5a \geq 0$

Đặt $t=\sqrt{a}$ rồi thay vào biến đổi tương đương (dùng Wolfram cho lẹ)

ra được: $A\geq \frac{(t-1)^4(2t+3)}{t^2}\geq 0$

Spoiler

Cách khá trâu, hi vọng cách khác hay hơn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Nhat Tuan: 02-08-2015 - 18:23

[vda2000]

bai 1: cho a,b,c >0 thỏa mãn abc=1 chứng minh $(a+b).(b+c).(c+a)\geq 5(a+b+c)-7$

Đặt: $\left\{\begin{matrix} a+b+c=p &\\ ab+bc+ca=q &\\ abc=r=1 \end{matrix}\right.$

Ta có BĐT cần chứng minh: $\Leftrightarrow pq-r\geq 5p-7$

$\Leftrightarrow pq-5p+6\geq 0$

Do $p^2\geq 3q$ nên: $p\geq\sqrt{3q}=\sqrt{3}.x$ với: $x=\sqrt{q}$

BĐT cần chứng minh đưa về:

$\sqrt{3}x^3-5\sqrt{3}x+6\geq 0$

$\Leftrightarrow \sqrt{3}(x-\sqrt{3})(x^2+\sqrt{3}x-2)\geq 0$ 

Luôn đúng với: $x\geq\sqrt{3}$ và $x^2+\sqrt{3}x\geq 3>2$ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vda2000: 02-08-2015 - 20:01

[Hoang Nhat Tuan]

Đặt: $\left\{\begin{matrix} a+b+c=p &\\ ab+bc+ca=q &\\ abc=r=1 \end{matrix}\right.$

Ta có BĐT cần chứng minh: $\Leftrightarrow pq-r\geq 5p-7$

$\Leftrightarrow pq-5p+6\geq 0$

Do $p^2\geq 3q$ nên: $p\geq\sqrt{3q}=\sqrt{3}.x$ với: $x=\sqrt{q}$

BĐT cần chứng minh đưa về:

$\sqrt{3}x^3-5\sqrt{3}x+6\geq 0$

$\Leftrightarrow -\sqrt{3}(x-\sqrt{3})(x^2+\sqrt{3}x-2)\geq 0$ 

Luôn đúng với: $x\geq\sqrt{3}$ và $x^2+\sqrt{3}x\geq 3>2$ 

Làm như thế này không ổn nhé bạn

$p\geq \sqrt{3q}=\sqrt{3}.x$ mà chỉ ra luôn rằng:

$\sqrt{3}x^3-5\sqrt{3}x+6\geq 0$ là cả một chặng đường dài

BĐT này không đơn giản như vậy đâu