Cho các số dương $a,b,c>0$ thỏa mãn: $(a+b)(b+c)(c+a)=8$
Tìm GTNN của biểu thức: $P=\frac{1}{\sqrt[3]{abc}}+\frac{1}{a+2b}+\frac{1}{b+2c}+\frac{1}{c+2a}$
Cho các số dương $a,b,c>0$ thỏa mãn: $(a+b)(b+c)(c+a)=8$
Tìm GTNN của biểu thức: $P=\frac{1}{\sqrt[3]{abc}}+\frac{1}{a+2b}+\frac{1}{b+2c}+\frac{1}{c+2a}$
"God made the integers, all else is the work of man."
Leopold Kronecker
Bổ đề:
$\frac{1}{4}\sqrt[3]{\frac{(a+b)^2(b+c)^2(c+a)^2}{abc}}\geq \frac{a+b+c}{3}$
Áp dụng:
Thay $(a+b)(b+c)(c+a)=8$ vào ta có:
$\frac{1}{\sqrt[3]{abc}}\geq \frac{a+b+c}{3}$
$P\geq \frac{a+b+c}{3}+\frac{3}{a+b+c}\geq 2$
Cho các số dương $a,b,c>0$ thỏa mãn: $(a+b)(b+c)(c+a)=8$
Tìm GTNN của biểu thức: $P=\frac{1}{\sqrt[3]{abc}}+\frac{1}{a+2b}+\frac{1}{b+2c}+\frac{1}{c+2a}$
Spoiler
Ta có:$(a+2b)(b+2a)\leq \frac{9(a+b)^2}{4}\Leftrightarrow a+2b\leq \frac{9(a+b)^2}{4(b+2a)}\Leftrightarrow \frac{1}{a+2b}\geq \frac{4(b+2a)}{9(a+b)^2}$
CMTT:$\frac{1}{b+2c}\geq \frac{4(c+2b)}{9(b+c)^2}$
$\frac{1}{c+2a}\geq \frac{4(a+2c)}{9(a+c)^2}$
$\Rightarrow \sum \frac{1}{a+2b}\geq \sum \frac{4(b+2a)}{9(a+b)^2}\geq 3\sqrt[3]{\frac{4^3(b+2a)(c+2b).(a+2c)}{9^3(a+b)^2(b+c)^2(c+a)^2}}=3\sqrt[3]{\frac{(b+a+a)(c+b+b)(a+c+c)}{729}}\geq 3\sqrt[3]{\frac{3^3\sqrt[3]{ba^2.cb^2.ac^2}}{729}}=3\sqrt[3]{\frac{abc}{27}}=\sqrt[3]{abc}$
Áp dụng BĐT $AM-GM$:
$\frac{1}{\sqrt[3]{abc}}+\sqrt[3]{abc}\geq 2$
Nên ta có ĐPCM
Cho các số dương $a,b,c>0$ thỏa mãn: $(a+b)(b+c)(c+a)=8$
Tìm GTNN của biểu thức: $P=\frac{1}{\sqrt[3]{abc}}+\frac{1}{a+2b}+\frac{1}{b+2c}+\frac{1}{c+2a}$
Spoiler
Theo Cosi cho 6 số ta có :
$P=\frac{1}{\sqrt[3]{abc}}+\frac{1}{a+2b}+\frac{1}{b+2c}+\frac{1}{c+2a}=\frac{1}{3\sqrt[3]{abc}}+\frac{1}{3\sqrt[3]{abc}}+\frac{1}{3\sqrt[3]{abc}}+\frac{1}{a+2b}+\frac{1}{b+2c}+\frac{1}{c+2a}\geq 6\sqrt[6]{\frac{1}{27\sqrt[3]{(abc)^3}.(a+2b)(b+2c)(c+2a)}}=\frac{6}{\sqrt[6]{27(abc)(a+2b)(b+2c)(c+2a)}}=\frac{6}{\sqrt[6]{27(ac+2bc)(ab+2ac)(bc+2ab)}}\geq \frac{6}{\sqrt[6]{(ac+2bc+ab+2ac+bc+2ab)^3}}=\frac{6}{\sqrt{3(ab+bc+ac)}}$ (1)
Mà $8=(a+b)(b+c)(c+a)\geq \frac{8(a+b+c)(ab+bc+ac)}{9}= > 9\geq (a+b+c)(ab+bc+ac)\geq \sqrt{3(ab+bc+ac)}(ab+bc+ac)= > ab+bc+ac\leq 3$ (2)
Từ (1),(2) $= > P\geq \frac{6}{\sqrt{3.3}}=\frac{6}{3}=2= > P_{min}=2< = > a=b=c=1$
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh