Chủ đề này có 3 trả lời

[the man]

Cho các số dương  $a,b,c>0$ thỏa mãn:  $(a+b)(b+c)(c+a)=8$

Tìm GTNN của biểu thức:   $P=\frac{1}{\sqrt[3]{abc}}+\frac{1}{a+2b}+\frac{1}{b+2c}+\frac{1}{c+2a}$ 

Spoiler

lâu rồi không đăng bất đẳng thức   

[Hoang Nhat Tuan]

Bổ đề:

$\frac{1}{4}\sqrt[3]{\frac{(a+b)^2(b+c)^2(c+a)^2}{abc}}\geq \frac{a+b+c}{3}$

Chứng minh

Nhận thấy BĐT là thuần nhất nên ta chuẩn hóa $a+b+c=1$

BĐT trở thành:

$27\left [ (a+b)(b+c)(c+a) \right ]^2\geq 64abc$

Sử dụng BĐT: $9(a+b)(b+c)(c+a)\geq 8(a+b+c)(ab+bc+ca)=8(ab+bc+ca)$

Do đó: $(a+b)^2(b+c)^2(c+a)^2\geq \frac{64}{81}(ab+bc+ca)^2\geq \frac{64}{27}abc$

Bổ đề được chứng minh

Áp dụng:

Thay $(a+b)(b+c)(c+a)=8$ vào ta có:

$\frac{1}{\sqrt[3]{abc}}\geq \frac{a+b+c}{3}$

$P\geq \frac{a+b+c}{3}+\frac{3}{a+b+c}\geq 2$

[Dinh Xuan Hung]

Cho các số dương  $a,b,c>0$ thỏa mãn:  $(a+b)(b+c)(c+a)=8$

Tìm GTNN của biểu thức:   $P=\frac{1}{\sqrt[3]{abc}}+\frac{1}{a+2b}+\frac{1}{b+2c}+\frac{1}{c+2a}$ 

Spoiler

lâu rồi không đăng bất đẳng thức   

Ta có:$(a+2b)(b+2a)\leq \frac{9(a+b)^2}{4}\Leftrightarrow a+2b\leq \frac{9(a+b)^2}{4(b+2a)}\Leftrightarrow \frac{1}{a+2b}\geq \frac{4(b+2a)}{9(a+b)^2}$

CMTT:$\frac{1}{b+2c}\geq \frac{4(c+2b)}{9(b+c)^2}$

$\frac{1}{c+2a}\geq \frac{4(a+2c)}{9(a+c)^2}$

$\Rightarrow \sum \frac{1}{a+2b}\geq \sum \frac{4(b+2a)}{9(a+b)^2}\geq 3\sqrt[3]{\frac{4^3(b+2a)(c+2b).(a+2c)}{9^3(a+b)^2(b+c)^2(c+a)^2}}=3\sqrt[3]{\frac{(b+a+a)(c+b+b)(a+c+c)}{729}}\geq 3\sqrt[3]{\frac{3^3\sqrt[3]{ba^2.cb^2.ac^2}}{729}}=3\sqrt[3]{\frac{abc}{27}}=\sqrt[3]{abc}$

Áp dụng BĐT $AM-GM$:

$\frac{1}{\sqrt[3]{abc}}+\sqrt[3]{abc}\geq 2$

Nên ta có ĐPCM

[Hoang Tung 126]

Cho các số dương  $a,b,c>0$ thỏa mãn:  $(a+b)(b+c)(c+a)=8$

Tìm GTNN của biểu thức:   $P=\frac{1}{\sqrt[3]{abc}}+\frac{1}{a+2b}+\frac{1}{b+2c}+\frac{1}{c+2a}$ 

Spoiler

lâu rồi không đăng bất đẳng thức   

 Theo Cosi cho 6 số ta có :

 

 $P=\frac{1}{\sqrt[3]{abc}}+\frac{1}{a+2b}+\frac{1}{b+2c}+\frac{1}{c+2a}=\frac{1}{3\sqrt[3]{abc}}+\frac{1}{3\sqrt[3]{abc}}+\frac{1}{3\sqrt[3]{abc}}+\frac{1}{a+2b}+\frac{1}{b+2c}+\frac{1}{c+2a}\geq 6\sqrt[6]{\frac{1}{27\sqrt[3]{(abc)^3}.(a+2b)(b+2c)(c+2a)}}=\frac{6}{\sqrt[6]{27(abc)(a+2b)(b+2c)(c+2a)}}=\frac{6}{\sqrt[6]{27(ac+2bc)(ab+2ac)(bc+2ab)}}\geq \frac{6}{\sqrt[6]{(ac+2bc+ab+2ac+bc+2ab)^3}}=\frac{6}{\sqrt{3(ab+bc+ac)}}$  (1)

 

 Mà $8=(a+b)(b+c)(c+a)\geq \frac{8(a+b+c)(ab+bc+ac)}{9}= > 9\geq (a+b+c)(ab+bc+ac)\geq \sqrt{3(ab+bc+ac)}(ab+bc+ac)= > ab+bc+ac\leq 3$  (2)

 

 Từ (1),(2) $= > P\geq \frac{6}{\sqrt{3.3}}=\frac{6}{3}=2= > P_{min}=2< = > a=b=c=1$