Chủ đề này có 14 trả lời

[mam1101]

BÀI 1 Cho góc vuông xOy và a thuộc miền trong của góc đó. Các điểm M,N chuyển động trên tia Ox, Oy sao cho $\angle$ MAN = 90 độ. Xác định vị trí điểm M,N để MN có độ dài nhỏ nhất.

 

 

Bài 2 Cho góc $\angle$ xBy khác 180 độ, M là một điểm nằm trong $\angle$ xBy. Một đường thẳng quay quanh M cắt Bx, By lần lượt tại A,C. Xác định vị trí của D để

      a) S_ABC  nhỏ nhất

      b) S_{MAB .} S_MBC nhỏ nhất

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi votruc: 03-08-2015 - 22:14

[foollock holmes]

bạn nên lập topic, chứ để như vậy thì sớm muộn cũng bị khoá

bài 1: gọi H là trung điểm MN, dễ thấy$ AH=OH=\frac{MN}{2}\Rightarrow HO+HA \geq OA \Rightarrow MN\geq OA$, dấu bằng xảy ra khi OMAN là hcn

bài 2a) kẻ $MD// By (D \in Bx)$ lấy A đối xứng với B qua D, $AM \cap By =C$ 

lấy A' bất kì trên Bx $A'M\cap By =C'$vì MA' khác MC' nên giả sử MC' >MA', lấy A'' đối xứng với A' qua M, dễ thấy $S{AA'M}=S{CA''M}\Rightarrow S{A'BC'}>S{ABC}$ suy ra đpcm ...

[mam1101]

bạn nên lập topic, chứ để như vậy thì sớm muộn cũng bị khoá

Thực sự mình không bít lập topic

 

Bài 3: Cho tam giác ABC , M nằm trong góc đó . Các đường thẳng AM, BM, CM lần lượt cắt các cạnh BC, AC, AB tại A₁, B_1, C_1.

X/đ vị trí của M để.

 

                 a)Tổng $\frac{AM}{A_{1}M} + \frac{BM}{A_{1}M} + \frac{CM}{C_{1}M}$ Min

 

 

                 b)Tích $\frac{AM}{A_{1}M} . \frac{BM}{A_{1}M} . \frac{CM}{C_{1}M}$ Min

 

 

                 c)Tổng $\frac{A_{1}M}{AM} + \frac{B_{1}M}{BM} + \frac{C_{1}M}{CM}$ Min

 

 

                 d)Tích $\frac{A_{1}M}{AM} . \frac{B_{1}M}{BM} . \frac{C_{1}M}{CM}$ Min 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi mam1101: 03-08-2015 - 21:05

[foollock holmes]

bài 3 :

đặt $S_{ABC}=S,S_{BMC}=S_1,S_{AMC}=S_2,S_{AMB}=S_3$

a) dễ thấy $\frac{AM}{A_1M}=\frac{AA_1}{A_1M}-1=\frac{S}{S_1}-1$

do đó tổng đã cho = $S(\frac{1}{S_1}+\frac{1}{S_2}+\frac{1}{S_3})-3$

áp dụng AM-GM ta có $\frac{1}{S_1}+\frac{1}{S_2}+\frac{1}{S_3} \geq \frac{9}{S_1+S_2+S_3}=\frac{9}{S}$

do đó tổng đã cho $\geq 9-3=6$

dấu bằng xảy ra khi $S_1=S_2=S_3=\frac{S}{3} \Leftrightarrow M $là trọng tâm tam giác ABC

câu c cũng tương tự : $ = S(\frac{1}{S_1+S_2}+\frac{1}{S_2+S_3}+\frac{1}{S_3+S_1})-3\geq \frac{9}{2}-3=\frac{3}{2}$ dấu bằng cũng xảy ra khi M là trọng tâm

b) $=(\frac{S}{S_1}-1)(\frac{S}{S_2}-1)(\frac{S}{S_3}-1)=\frac{S^{3}}{S_1.S_2.S_3}-S^{2}.(\frac{1}{S_1.S_2}+\frac{1}{S_2.S_3}+\frac{1}{S_3.S_1} )+S(\frac{1}{S_1}+\frac{1}{S_2}+\frac{1}{S_3})-1 =S(\frac{1}{S_1}+\frac{1}{S_2}+\frac{1}{S_3})-1\geq 9-1=8$

... cũng xảy ra khi M là trọng tâm

không biết đúng không thấy vị trí M ảo quá, câu  b mình làm hơi dài, bạn có cách ngắn hơn thì up nhé, với up đáp án bài 2b luôn

[mam1101]

Khoảng tuần nữa chưa có ai làm mình sẽ đăng. Mà hình như topic không được ghé thăm thì phải     

[foollock holmes]

BÀI 4:   cho hình chữ nhật ABCD, xác định $E \in BC,F \in CD,G \in DA,H \in AB$ sao cho chu vi tứ giác EFGH đạt min

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi foollock holmes: 05-08-2015 - 12:59

[mam1101]

Áp dụng Cauchy ta có 

EF² + HE² = HB²  + BE²  + CE²  + CF²  = ( HB² +  CF² ) + ( BE²  + CE² )

HB² +  CF² $\geq$ 2 HB. CF Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow$ HB = CF.

BE²  + CE² $\geq$ 2 BE. CE  Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow$ BE = CE.

Tương tự bốn lần như  vây       ta có  

H là tđ của AB, E là tđ của BC, F là tđ của CD, G là tđ của AD

[foollock holmes]

Áp dụng Cauchy ta có 

EF² + HE² = HB²  + BE²  + CE²  + CF²  = ( HB² +  CF² ) + ( BE²  + CE² )

HB² +  CF² $\geq$ 2 HB. CF Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow$ HB = CF.

BE²  + CE² $\geq$ 2 BE. CE  Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow$ BE = CE.

Tương tự bốn lần như  vây       ta có  

H là tđ của AB, E là tđ của BC, F là tđ của CD, G là tđ của AD

HB.CF và BE.CE chưa xác định nhé, làm vậy là sai rồi bạn, phải có HB.CF=x gì đó hoặc $HB.CF\geq x$ gì đó mới áp dụng được

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi foollock holmes: 05-08-2015 - 21:24

[mam1101]

Vậy thì mình chịu.   

[foollock holmes]

công bố đáp án bài 4

gọi EFGH  là tứ giác nội tiếp HCN;M,N theo thứ tự là trung điểm của EH và FG,ta có EH=2AM,FG=2NC nên chu vi EFGH= 2AM+2NC+(EF+GH)

mà $EF+GH \geq 2MN $( bổ đề này bạn tự cm nhé, dấu bằng xảy ra khi EF//GH//MN ) do đó chu vi EFGH$\geq 2(AM+NC+MN) \geq 2AC$

dấu bằng xảy ra khi A,M,N,C thẳng hàng và EF//HG//AC khi đó EFGH là hình bình hành và có các cạnh tương ứng song song với các đường chéo hcn( cái bạn đưa chỉ là 1 TH)

[foollock holmes]

bài 3 b mình có cách khác $\frac{AM}{A_1M}=\frac{S_2+S_3}{S_1}$ tương tự tổng C=\frac{(S_2+S_3)(S_3+S_1)(S_1+S_2)}{S_1.S_2.S_3} \geq 8$( theo AM-GM)

bài 2b $S_{ABM}.S_{CBM} =MB^2.BA.sin\widehat{ABM}.BC.sin\widehat{CBM}$ vì $MB ,sin\widehat{ABM} \space và \space sin\widehat{CBM} không đổi

nên ta có $S_{ABM}.S_{CBM} min \Leftrightarrow BA.BC min $ mà do$\widehat{BAC}$ không đổi nên BA.BC min khi S ABC min quay lại câu a ....

[bachmahoangtu2003]

bài 3 :

đặt $S_{ABC}=S,S_{BMC}=S_1,S_{AMC}=S_2,S_{AMB}=S_3$

a) dễ thấy $\frac{AM}{A_1M}=\frac{AA_1}{A_1M}-1=\frac{S}{S_1}-1$

do đó tổng đã cho = $S(\frac{1}{S_1}+\frac{1}{S_2}+\frac{1}{S_3})-3$

áp dụng AM-GM ta có $\frac{1}{S_1}+\frac{1}{S_2}+\frac{1}{S_3} \geq \frac{9}{S_1+S_2+S_3}=\frac{9}{S}$

do đó tổng đã cho $\geq 9-3=6$

dấu bằng xảy ra khi $S_1=S_2=S_3=\frac{S}{3} \Leftrightarrow M $là trọng tâm tam giác ABC

câu c cũng tương tự : $ = S(\frac{1}{S_1+S_2}+\frac{1}{S_2+S_3}+\frac{1}{S_3+S_1})-3\geq \frac{9}{2}-3=\frac{3}{2}$ dấu bằng cũng xảy ra khi M là trọng tâm

b) $=(\frac{S}{S_1}-1)(\frac{S}{S_2}-1)(\frac{S}{S_3}-1)=\frac{S^{3}}{S_1.S_2.S_3}-S^{2}.(\frac{1}{S_1.S_2}+\frac{1}{S_2.S_3}+\frac{1}{S_3.S_1} )+S(\frac{1}{S_1}+\frac{1}{S_2}+\frac{1}{S_3})-1 =S(\frac{1}{S_1}+\frac{1}{S_2}+\frac{1}{S_3})-1\geq 9-1=8$

... cũng xảy ra khi M là trọng tâm

không biết đúng không thấy vị trí M ảo quá, câu  b mình làm hơi dài, bạn có cách ngắn hơn thì up nhé, với up đáp án bài 2b luôn

Capture.PNG

Em hỏi ngu chút là tại sao $\frac{AA_1}{A_1M}-1=\frac{S}{S_1}-1$ , mấy cái kia chắc tương tự   

[foollock holmes]

Em hỏi ngu chút là tại sao $\frac{AA_1}{A_1M}-1=\frac{S}{S_1}-1$ , mấy cái kia chắc tương tự   

$\frac{AA_1}{A_1M}=\frac{S_{BAA_1}}{S_{BMA_1}}=\frac{S_{CAA_1}}{S_{CMA_1}}=\frac{S}{S_1}$( tính chất dãy tỉ số = nhau )

[mam1101]

Nếu có bài hình nào hay thì post lên luôn

 

Bài 5 : Cho tứ giác ABCD có diện tích là S. Điểm O nằm trong tứ giác.

C/mr OA² + OB² + OC² + OD²  $\geq$ 2S

 

Bài 6 : Cho tứ giác ABCD có diện tích là S. Có tổng bình phương các cạnh và đường chéo là p.

c/mr a) S $\leq$ $\frac{1}{2}$ AC . BD

        b) S $\leq$ $\frac{p}{8}$ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi mam1101: 20-08-2015 - 19:37

[foollock holmes]

bài 6 : kẻ AF, CG vuông góc với BD, có $ AC.BD \geq (AF+CG)BD =2 S_{ABCD}$

b) $AB^2+BC^2 \geq 2AB.BC \geq 2S_{ABC} ; AD^2+DC^2 \geq 2 AD.DC \geq 4S_{ADC} ,AC^2 +BD^2  \geq 2AC.BD = 4 S_{ABCD}$

 

cộng lại ta có đpcm

bài 5 : từ O kẻ OH,OK vuông góc với AB và AD; có $2OA^2=OH^2+AH^2+OK^2+AK^2 \geq 2AH.OH+2OK.AK =4S_{AHOK}$ tương tự cộng lại ...

p/s sửa bài 2d đi bạn với bạn phải 2k1 không, để mình còn lựa bài post

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi foollock holmes: 21-08-2015 - 17:06