Chủ đề này có 2 trả lời

[the man]

Bài toán:

Tìm các số nguyên $a,b$ để  $3^a+7^b$ là 1 số chính phương

[Belphegor Varia]

$\texttt{Solution}$

 

$\blacklozenge$ Nếu $a,b$ cùng tính chẵn lẻ khi đó ta có : $3^a\equiv \pm 1(\mod 4) , 3^b= \pm 1(\mod 4)$ 

Khi đó $3^a+7^b\equiv 2(\mod 4)$. Mà $1$ số chính phương chỉ có dạng $4k,4k+1$ nên trường hợp này không thỏa mãn. 

 

$\blacklozenge$ Nếu $a,b$ khác tính chẵn lẻ :

         

         $\star$ Nếu $a$ chẵn, $b$ lẻ. Giả sử $a=2m,b=2n+1(m,n\in \mathbb{Z})$

         Khi đó phương trình $3^a+7^b=k^2\Leftrightarrow 3^{2m}+7^{2n+1}=k^2 \Leftrightarrow 7^{2n+1}=(k-3^m)(k+3^m)$

         Suy ra $k-3^m=7^x, k+3^m=7^y(x<y;x,y\in \mathbb{N}$

         $\rightarrow 2.3^m=7^y-7^x$ (phương trình này vô nghiệm)

         

         $\star$ Nếu $a$ lẻ, $b$ chẵn

Spoiler

Tương tự

 

Vậy không tồn tại số nguyên $a,b$ để $3^a+7^b$ là số chính phương           $\square$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Belphegor Varia: 03-08-2015 - 20:26

[hoanglong2k]

$\texttt{Solution}$

 

$\blacklozenge$ Nếu $a,b$ cùng tính chẵn lẻ khi đó ta có : $3^a\equiv \pm 1(\mod 4) , 3^b= \pm 1(\mod 4)$ 

Khi đó $3^a+7^b\equiv 2(\mod 4)$. Mà $1$ số chính phương chỉ có dạng $4k,4k+1$ nên trường hợp này không thỏa mãn. 

 

$\blacklozenge$ Nếu $a,b$ khác tính chẵn lẻ :

         

         $\star$ Nếu $a$ chẵn, $b$ lẻ. Giả sử $a=2m,b=2n+1(m,n\in \mathbb{Z})$

         Khi đó phương trình $3^a+7^b=k^2\Leftrightarrow 3^{2m}+7^{2n+1}=k^2 \Leftrightarrow 7^{2n+1}=(k-3^m)(k+3^m)$

         Suy ra $k-3^m=7^x, k+3^m=7^y(x<y;x,y\in \mathbb{N}$

         $\rightarrow 2.3^m=7^y-7^x$ (phương trình này vô nghiệm)

         

         $\star$ Nếu $a$ lẻ, $b$ chẵn

Spoiler

Tương tự

 

Vậy không tồn tại số nguyên $a,b$ để $3^a+7^b$ là số chính phương           $\square$

 Lấy $m=1;y=1;x=0$ thì thoả mãn phương trình

 Theo vậy thì đề bài sẽ có một nghiệm là $(a;b)=(2;1)$