Chủ đề này có 1 trả lời

[quan1234]

Cho hàm số $y=f(x)$, trong đó $f(x)=ax^2+bx+c$ thỏa mãn các điều kiện $\left | f(0) \right |\leq 1,\left | f(1) \right |\leq 1,\left | f(-1) \right |\leq 1$.CMR $\forall x\in \left [ -1;1 \right ],\left | f(x) \right |\leq \frac{5}{4}$

[hoanglong2k]

Cho hàm số $y=f(x)$, trong đó $f(x)=ax^2+bx+c$ thỏa mãn các điều kiện $\left | f(0) \right |\leq 1,\left | f(1) \right |\leq 1,\left | f(-1) \right |\leq 1$.CMR $\forall x\in \left [ -1;1 \right ],\left | f(x) \right |\leq \frac{5}{4}$

 Ta có : $f(x)=f(-1).f_{-1}(x)+f(0).f_0(x)+f(1).f_1(x)$
            $=f(-1).\frac{(x-0)(x-1)}{(-1-0)(-1-1)}+f(0).\frac{(x-1)(x+1)}{(0-1)(0+1)}+f(1).\frac{(x-0)(x+1)}{(1-0)(1+1)}$

            $=\frac{x^2-x}{2}f(-1)+(1-x^2)f(0)+\frac{x^2+x}{2}f(1)$

 

      $\Rightarrow |f(x)|=\left |\frac{x^2-x}{2}f(-1)+(1-x^2)f(0)+\frac{x^2+x}{2}f(1)\right |$

                           $\leq \left |\frac{x(x-1)}{2}\right |.|f(-1)|+|1-x^2|.|f(0)|+\left |\frac{x^2+x}{2}\right |.|f(1)|$

                           $\leq \left |\frac{x(x-1)}{2}\right |+|1-x^2|+\left |\frac{x(x+1)}{2}\right |$

                           $=\frac{|x|(1-x+x+1)}{2}+1-x^2$

                           $=|x|+1-x^2=-\left ( |x|-\frac{1}{2} \right )^2+\frac{5}{4}\leq \frac{5}{4}$