Chủ đề này có 3 trả lời

[nmuyen2001]

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn $ab+bc+ca+abc=4$.

Chứng minh $\sqrt{ab} + \sqrt{bc} + \sqrt{ca} \leq 3$.

 

[quangnghia]

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn $ab+bc+ca+abc=4$.

Chứng minh $\sqrt{ab} + \sqrt{bc} + \sqrt{ca} \leq 3$.

Ta có $ab+bc+ca+abc=4$

$\Rightarrow (a+2)(b+2)+(b+2)(c+2)+(c+2)(a+2)=(a+2)(b+2)(c+2)$

$\Rightarrow \frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}=1$

vậy tồn tại các số dương x,y,z sao cho

$a=\frac{2x}{y+z}$, $b=\frac{2y}{x+z}$, $c=\frac{2z}{x+y}$

$\Rightarrow \sqrt{ab}=\sqrt{\frac{2x}{y+z}\frac{2y}{z+x}}=2\sqrt{\frac{x}{x+z}\frac{y}{y+z}}\leq \frac{x}{x+z}+\frac{y}{y+z}$

Thực hiện 2 bđt tương tự, rồi cộng theo vế, là thu được đpcm

[Silverbullet069]

Ta có $ab+bc+ca+abc=4$

$\Rightarrow (a+2)(b+2)+(b+2)(c+2)+(c+2)(a+2)=(a+2)(b+2)(c+2)$

$\Rightarrow \frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}=1$

vậy tồn tại các số dương x,y,z sao cho

$a=\frac{2x}{y+z}$, $b=\frac{2y}{x+z}$, $c=\frac{2z}{x+y}$

$\Rightarrow \sqrt{ab}=\sqrt{\frac{2x}{y+z}\frac{2y}{z+x}}=2\sqrt{\frac{x}{x+z}\frac{y}{y+z}}\leq \frac{x}{x+z}+\frac{y}{y+z}$

Thực hiện 2 bđt tương tự, rồi cộng theo vế, là thu được đpcm

Sao anh ra được đoạn này ạ ?

[quangnghia]

Sao anh ra được đoạn này ạ ?

Tách thành nhân tử rồi chia 2 vế nha em.