Chủ đề này có 7 trả lời

[nhimtom]

Cho  các số thực dương a,b,c sao cho a+b+c=1 CMR $\frac{a+b}{\sqrt{a^2+b}}+\frac{b+c}{\sqrt{c^2+b}}\leqslant 2$

[hoanglong2k]

Cho  các số thực dương a,b,c sao cho a+b+c=1 CMR $\frac{a+b}{\sqrt{a^2+b}}+\frac{b+c}{\sqrt{c^2+b}}\leqslant 2$

 Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz :

$$\frac{a+b}{\sqrt{a^2+b}}+\frac{b+c}{\sqrt{c^2+b}}\leq \sqrt{2\left [ \frac{(a+b)^2}{a^2+b(a+b+c)}+\frac{(b+c)^2}{c^2+b(a+b+c)} \right ]}$$

$$\leq \sqrt{2\left [ \frac{a^2}{a(a+b)}+\frac{b^2}{b(b+c)}+\frac{b^2}{b(a+b)}+\frac{c^2}{c(b+c)} \right ]}=2$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoanglong2k: 15-08-2015 - 14:12

[Coppy dera]

 Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz :

$$\frac{a+b}{\sqrt{a^2+b}}+\frac{b+c}{\sqrt{c^2+b}}\leq \sqrt{2\left [ \frac{(a+b)^2}{a^2+b(a+b+c)}+\frac{(b+c)^2}{c^2+b(a+b+c)} \right ]}$$

$$\leq \sqrt{2\left [ \frac{a^2}{a(a+b)}+\frac{b^2}{b(b+c)}+\frac{b^2}{b(a+b)}+\frac{c^2}{c(b+c)} \right ]}=2$$

Quá khó hiểu

[CaptainCuong]

 Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz :

$$\frac{a+b}{\sqrt{a^2+b}}+\frac{b+c}{\sqrt{c^2+b}}\leq \sqrt{2\left [ \frac{(a+b)^2}{a^2+b(a+b+c)}+\frac{(b+c)^2}{c^2+b(a+b+c)} \right ]}$$

$$\leq \sqrt{2\left [ \frac{a^2}{a(a+b)}+\frac{b^2}{b(b+c)}+\frac{b^2}{b(a+b)}+\frac{c^2}{c(b+c)} \right ]}=2$$

Bạn áp dụng BDT nào vậy

[Dinh Xuan Hung]

Cho  các số thực dương a,b,c sao cho a+b+c=1 CMR $\frac{a+b}{\sqrt{a^2+b}}+\frac{b+c}{\sqrt{c^2+b}}\leqslant 2$

Áp dụng BĐT $C-S$ ta có:

$\frac{a+b}{\sqrt{a^2+b}}+\frac{b+c}{\sqrt{c^2+b}}\leq \sqrt{2\left ( \frac{(a+b)^2}{a^2+b(a+b+c)}+\frac{(b+c)^2}{c^2+b(a+b+c)} \right )}=\sqrt{2\left [ \frac{(a+b)^2}{a(a+b)+b(b+c)}+\frac{(b+c)^2}{c(b+c)+b(b+a)} \right ]}$

Áp dụng BĐT $C-S$ ta có:$\frac{a^2}{a(a+b)}+\frac{b^2}{b(b+c)}\geq \frac{(a+b)^2}{a(a+b)+b(b+c)}$

$\frac{c^2}{c(b+c)}+\frac{b^2}{b(b+a)}\geq \frac{(c+b)^2}{c(b+c)+b(b+a)}$

$\Rightarrow \frac{(a+b)^2}{a(a+b)+b(b+c)}+\frac{(b+c)^2}{c(b+c)+b(b+a)}\leq \frac{a^2b+b^2a}{ab(a+b)}+\frac{b^2c+c^2b}{bc(b+c)}=2$

Khi đó:$\frac{a+b}{\sqrt{a^2+b}}+\frac{b+c}{\sqrt{c^2+b}}\leq \sqrt{2\left [ \frac{(a+b)^2}{a(a+b)+b(b+c)}+\frac{(b+c)^2}{c(b+c)+b(b+a)} \right ]}\leq \sqrt{2.2}=2$

[Boruto]

áp dụng 2 lần C-S đó bạn cái bdt đầu là $(a+b)\leq \sqrt{2(a^2+b^2)}$

[Silverbullet069]

Áp dụng BĐT $C-S$ ta có:

$\frac{a+b}{\sqrt{a^2+b}}+\frac{b+c}{\sqrt{c^2+b}}\leq \sqrt{2\left ( \frac{(a+b)^2}{a^2+b(a+b+c)}+\frac{(b+c)^2}{c^2+b(a+b+c)} \right )}$$=\sqrt{2\left [ \frac{(a+b)^2}{a(a+b)+b(b+c)}+\frac{(b+c)^2}{c(b+c)+b(b+a)} \right ]}$

Áp dụng BĐT $C-S$ ta có:$\frac{a^2}{a(a+b)}+\frac{b^2}{b(b+c)}\geq \frac{(a+b)^2}{a(a+b)+b(b+c)}$

$\frac{c^2}{c(b+c)}+\frac{b^2}{b(b+a)}\geq \frac{(c+b)^2}{c(b+c)+b(b+a)}$

$\Rightarrow \frac{(a+b)^2}{a(a+b)+b(b+c)}+\frac{(b+c)^2}{c(b+c)+b(b+a)}\leq \frac{a^2b+b^2a}{ab(a+b)}+\frac{b^2c+c^2b}{bc(b+c)}=2$

Khi đó:$\frac{a+b}{\sqrt{a^2+b}}+\frac{b+c}{\sqrt{c^2+b}}\leq \sqrt{2\left [ \frac{(a+b)^2}{a(a+b)+b(b+c)}+\frac{(b+c)^2}{c(b+c)+b(b+a)} \right ]}\leq \sqrt{2.2}=2$

Đoạn này anh làm kĩ hơn được không ? Em vẫn chưa hiểu

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Silverbullet069: 15-08-2015 - 16:09

[arsfanfc]

Đoạn này anh làm kĩ hơn được không ? Em vẫn chưa hiểu

chắc bạn hãy xem lại bđt C-S

$(1. \frac{a+b}{\sqrt{a^2+b}}+1.\frac{b+c}{\sqrt{b^2+c}})^2 \leq (1^2+1^2)(\frac{(a+b)^2}{(\sqrt{a^2+b})^2}+\frac{(b+c)^2}{(\sqrt{c^2+b})^2}) =....$

vì$ a+b+c=1 => b(a+b+c)=b $rồi thay vào thôi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi arsfanfc: 15-08-2015 - 16:32