Chủ đề này có 1 trả lời

[Ispectorgadget]

Chứng minh rằng nếu $\alpha$ và $\cos \alpha \pi$ hữu tỷ thì $2\cos \alpha \pi \in \mathbb{Z}$.

[WhjteShadow]

Chứng minh rằng nếu $\alpha$ và $\cos \alpha \pi$ hữu tỷ thì $2\cos \alpha \pi \in \mathbb{Z}$.

Spoiler

Anh Kiên hâm :v

Do $\alpha$ hữu tỉ nên đặt $\alpha = \frac{p}{q} \, , \, (p;q)=1$. Với mỗi $n\in \mathbb{N}$ tồn tại duy nhất 1 đa thức $T$ sao cho :

$$T_{n}(2\cos x)= 2\cos nx\,\,\, \text{(biến thể của đa thức Chebyshev)}$$

Và đồng thời $T_n$ được xác định theo công thức truy hồi : $T_{0}(x)=2, T_{1}(x)=x, T_{n+1}(x)= x.T_{n}(x)-T_{n-1}(x)$. (Do $\cos (n+1)x =2\cos x.\cos nx -\cos (n-1)x$)

Bằng quy nạp, ta thấy $T_{n}(x)$ monic (có hệ số cao nhất bằng 1) và $T_{n}(x)\in \mathbb{Z}[x]$.

Mà $T_{q}(2\cos \alpha\pi)=2\cos p\pi = \pm 2$ (Do $p\in \mathbb{Z}$). Vậy lúc đó đa thức : $R(x) = T_{q}+2$ nếu $p$ lẻ hoặc $S(x) = T_{q}-2$ nếu $p$ chẵn sẽ nhận $2\cos \alpha\pi$ làm nghiệm hữu tỉ mà 2 đa thức đó đều $\in \mathbb{Z}[x]$ và monic.

Vậy  $2\cos \alpha\pi \in \mathbb{Z}$.