Chủ đề này có 6 trả lời

[Minhnguyenthe333]

Tìm $(x,y)$ nguyên thỏa mãn phương trình:$x^4-3x^3y+5x^2y^2-xy(3y^2+2)+y^4+1=0$

[hoangyenmn9a]

tách đc: VT= (x-y)^4+xy(x-y)^2+(xy-1)^2 => x=y=1

[Quoc Tuan Qbdh]

Tìm $(x,y)$ nguyên thỏa mãn phương trình:$x^4-3x^3y+5x^2y^2-xy(3y^2+2)+y^4+1=0$

$<=>(x^{4}-4x^{3}y+6x^{2}y^{2}-4xy^{3}+y^{4})+xy(x^{2}-2xy+y^{2})+(x^{2}y^{2}-2xy+1)=0$

$<=>(x-y)^{4}+xy(x-y)^{2}+(xy-1)^{2}=0$

$<=>(x-y)^{2}(x^{2}-xy+y^{2})+(xy-1)^{2}=0$

 

Ta thấy : $x^{2}-xy+y^{2}=(x-\frac{y}{2})^{2}+\frac{3y^{2}}{4} \geq 0$

Nên vế trái $\geq0$

Vậy đẳng thức xảy ra khi $xy=1$ và $x=y$ vậy $x=y=1$ hoặc $x=y=-1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Quoc Tuan Qbdh: 15-08-2015 - 17:47

[Quoc Tuan Qbdh]

tách đc: VT= (x-y)^4+xy(x-y)^2+(xy-1)^2 => x=y=1

Làm sao bạn có thể khẳng định vế trái lớn hơn hoặc bằng $0$ nếu $xy<0$ sẽ ngược dấu ??

[Silverbullet069]

$<=>(x^{4}-4x^{3}y+6x^{2}y^{2}-4xy^{3}+y^{4})+xy(x^{2}-2xy+y^{2})+(x^{2}y^{2}-2xy+1)=0$

$<=>(x-y)^{4}+xy(x-y)^{2}+(xy-1)^{2}=0$

$<=>(x-y)^{2}(x^{2}-xy+y^{2})+(xy-1)^{2}=0$

 

Ta thấy : $x^{2}-xy+y^{2}=(x-\frac{y}{2})^{2}+\frac{3y^{2}}{4} \geq 0$

Nên vế trái $\geq0$

Vậy đẳng thức xảy ra khi $xy=1$ và $x=y$ vậy $x=y=1$

Anh đừng quên là x = y = -1 cũng là nghiệm của PT đấy.

[hoangyenmn9a]

Làm sao bạn có thể khẳng định vế trái lớn hơn hoặc bằng $0$ nếu $xy<0$ sẽ ngược dấu ??

thêm x=y=-1 nữa ạ.mình xin lỗi.

[hoangyenmn9a]

đưa về pt (x^2-xy)^2+(xy-1)(4xy-1)=0 suy ra (xy-1)(4xy-1)<=0 suy ra điều kiện của xy là 1/4<=xy<=1 x y nguyên nên xy=0(loại) hoặc x=y=1