Chủ đề này có 3 trả lời

[Coppy dera]

Tìm Min $\sum \frac{a}{a^2+8bc}$ biết $a+b+c=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Coppy dera: 18-08-2015 - 14:39

[arsfanfc]

Tìm Min $\sum \frac{a}{a^2+8bc}$ biết $a+b+c=1$

Đề thiếu $a,b,c >0 $

Ta có :

$P=\sum \frac{a^2}{a^3+8abc} \geq \frac{(a+b+c)^2}{a^3+b^3+c^3+24abc}$

Ta chứng minh được$ (a+b+c)^3 \geq a^3+b^3+c^3 +24abc$

$=> P \geq a+b+c=1$

[Silverbullet069]

Đề thiếu $a,b,c >0 $

Ta có :

$P=\sum \frac{a^2}{a^3+8abc} \geq \frac{(a+b+c)^2}{a^3+b^3+c^3+24abc}$

Ta chứng minh được$ $(a+b+c)^3 \geq a^3+b^3+c^3 +24abc$

$=> P \geq a+b+c=1$

Chỗ này trình bày kĩ hơn tí :

Ta có : $(a+b+c)^3 = a^3 + b^3 + c^3 + 3(a + b)(b + c)(c + a)$ (*)

Áp dụng BĐT Cô-si, ta có :

$a + b \geq 2.\sqrt{ab}$

$b + c \geq 2.\sqrt{bc}$

$c + a \geq 2.\sqrt{ac}$

$\Rightarrow (a + b)(b + c)(c + a) \geq 8.\sqrt{(abc)^2} = 8abc$

$\Rightarrow 3(a + b)(b + c)(c + a) \geq 24.\sqrt{(abc)^2}$

Thay vào (*), ta có :

$(a+b+c)^3 \geq a^3 + b^3 + c^3 + 24abc$

À, dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a = b = c = \sqrt{1}{3}$

[Coppy dera]

Chỗ này trình bày kĩ hơn tí :

Ta có : $(a+b+c)^3 = a^3 + b^3 + c^3 + 3(a + b)(b + c)(c + a)$ (*)

Áp dụng BĐT Cô-si, ta có :

$a + b \geq 2.\sqrt{ab}$

$b + c \geq 2.\sqrt{bc}$

$c + a \geq 2.\sqrt{ac}$

$\Rightarrow (a + b)(b + c)(c + a) \geq 8.\sqrt{(abc)^2} = 8abc$

$\Rightarrow 3(a + b)(b + c)(c + a) \geq 24.\sqrt{(abc)^2}$

Thay vào (*), ta có :

$(a+b+c)^3 \geq a^3 + b^3 + c^3 + 24abc$

À, dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a = b = c = \sqrt{1}{3}$

K cần đâu mk hiểu mà