Chủ đề này có 5 trả lời

[Lin Kon]

Cho $x,y,z>0$.CMR

$\frac{y}{x+3y}+\frac{z}{y+3z}+\frac{x}{z+3x}\leq \frac{3}{4}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Lin Kon: 16-08-2015 - 20:48

[Hoang Nhat Tuan]

BĐT tương đương:

$5(x^2y+y^2z+z^2x)+3(xy^2+yz^2+zx^2)-24xyz\geq 0$

BĐT đúng theo AM-GM

[hoangyenmn9a]

BĐT tương đương:

$5(x^2y+y^2z+z^2x)+3(xy^2+yz^2+zx^2)-24xyz\geq 0$

BĐT đúng theo AM-GM

cho mình hỏi : cái biến đổi đấy ở đâu? ntn ah?

[Hoang Nhat Tuan]

cho mình hỏi : cái biến đổi đấy ở đâu? ntn ah?

Quy đồng phân số thôi mà bạn, sau đó rút ra được như mình

[phamquanglam]

Cho $x,y,z>0$.CMR

$\frac{y}{x+3y}+\frac{z}{y+3z}+\frac{x}{z+3x}\leq \frac{3}{4}$

Đặt: $P=\sum \frac{y}{x+3y}\Rightarrow 3-3P=\sum \frac{x}{x+3y}=\sum \frac{x^{2}}{x^{2}+3xy}\geq \frac{(x+y+z)^{2}}{(x+y+z)^{2}+xy+yz+zx}\geq \frac{(x+y+z)^{2}}{(x+y+z)^{2}+\frac{(x+y+z)^{2}}{3}}\geq \frac{3}{4}\Rightarrow P\leq \frac{3}{4}$

[Dinh Xuan Hung]

Cho $x,y,z>0$.CMR

$\frac{y}{x+3y}+\frac{z}{y+3z}+\frac{x}{z+3x}\leq \frac{3}{4}$

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:$\left ( \frac{1}{3}-\frac{y}{x+3y} \right )+\left ( \frac{1}{3}-\frac{z}{y+3z}\right )+\left ( \frac{1}{3}-\frac{x}{z+3x} \right )\geq \frac{1}{4}$

$\Leftrightarrow \frac{x}{3(x+3y)}+\frac{y}{3(y+3z)}+\frac{z}{3(z+3x)}\geq \frac{1}{4}(*)$

Mặt khác ta có:

Áp dụng BĐT $C-S$ ta có:

$\frac{x}{3(x+3y)}+\frac{y}{3(y+3z)}+\frac{z}{3(z+3x)}\geq \frac{(x+y+z)^2}{3(x^2+y^2+z^2+3xy+3yz+3xz)}=\frac{(x+y+z)^2}{3[(x+y+z)^2+xy+yz+xz]}\geq \frac{(x+y+z)^2}{3[(x+y+z)^2+\frac{(x+y+z)^2}{3}]}=\frac{1}{4}$

$\Rightarrow (*)$ luôn đúng

NÊN:$\frac{y}{x+3y}+\frac{z}{y+3z}+\frac{x}{z+3x}\leq \frac{3}{4}$