Chủ đề này có 4 trả lời

[songviae]

Cho a,b>0.CMR: $\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{a}+7(a+b)\geq 8\sqrt{2(a^{2}+b^{2})}$

[hoctrocuaHolmes]

Cho a,b>0.CMR: $\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{a}+7(a+b)\geq 8\sqrt{2(a^{2}+b^{2})}$

Bất đẳng thức cần cm tương đương vs $\Leftrightarrow a^{3}+b^{3}+7ab(a+b)\geq 8ab\sqrt{2(a^{2}+b^{2})}$ 

Áp dụng AM-GM ta có $a^{3}+b^{3}+7ab(a+b)=(a+b)[(a+b)^{2}+4ab]\geq (a+b)4\sqrt{ab}(a+b)=(a+b)^{2}\sqrt{4ab}$ $(1)$

Lại có $8ab\sqrt{2(a^{2}+b^{2})}=8\sqrt{ab}\sqrt{2ab(a^{2}+b^{2})}\leq 4\sqrt{ab}(a+b)^{2}(2)$ (đúng theo AM-GM)

Từ $(1)(2)$ suy ra đpcm

Dấu''='' xảy ra khi $a=b$

[Nguyenhuyen_AG]

Cho a,b>0.CMR: $\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{a}+7(a+b)\geq 8\sqrt{2(a^{2}+b^{2})}$

 

Vì

\[\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{a}+7(a+b) = \sqrt{8^2\cdot 2(a^2+b^2) + \frac{(a^2+18ab+b^2)(a-b)^4}{a^2b^2}} \geqslant 8\sqrt{2(a^2+b^2)}.\]

Nên ta có điều phải chứng minh.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyenhuyen_AG: 18-08-2015 - 11:55

[songviae]

Vì

\[\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{a}+7(a+b) = \sqrt{8^2\cdot 2(a^2+b^2) + \frac{(a^2+18ab+b^2)(a-b)^4}{a^2b^2}} \geqslant 8\sqrt{2(a^2+b^2)}.\]

Nên ta có điều phải chứng minh.

bạn có cách tính j không,hay là cộng trừ bt vậy,nếu bt thì dài đấy

[AnhTam97]

Theo B.C.S ta có: $\left ( a+b \right )\geqslant \sqrt{2\left ( a^{2}+b^{2} \right )} \Rightarrow 6\left ( a+b \right )\geq 6\sqrt{2\left ( a^{2}+b^{2} \right )}$

Áp dụng Cô-si và B.C.S ta có: $\frac{a^{2}}{b}+b+ \frac{b^{2}}{a} +a\geq 2a+2b=2\left ( a+b \right )\geqslant 2\sqrt{2\left ( a^{2}+b^{2} \right )}$

cộng vế theo vế ta có Đ.P.C.M