Cho ba số không âm $a,b,c$ thoả mãn $ĐK$: $ab+bc+ca+abc=4$. Chứng minh rằng: $3(a^{2}+b^{2}+c^{2})+abc\geq 10$.
Spoiler
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi O0NgocDuy0O: 17-08-2015 - 12:35
Chứng minh rằng: $3(a^{2}+b^{2}+c^{2})+abc\geq 10$
Bắt đầu bởi O0NgocDuy0O, 17-08-2015 - 12:34
#1
Đã gửi 17-08-2015 - 12:34
O0NgocDuy0O
-
- Thành viên
-
- 760 Bài viết
Trung úy
- ZzThuyDuongzZ và kunsomeone thích
"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")
#2
Đã gửi 17-08-2015 - 13:08
Minhnguyenthe333
-
- Thành viên
-
- 804 Bài viết
Trung úy
Từ giả thiết ta có: $9(a+b+c)^2\geq 27(ab+bc+ca)=108-27abc\geq 108-(a+b+c)^3$Cho ba số không âm $a,b,c$ thoả mãn $ĐK$: $ab+bc+ca+abc=4$. Chứng minh rằng: $3(a^{2}+b^{2}+c^{2})+abc\geq 10$.
Spoiler
Đặt $k=a+b+c.BPT\Leftrightarrow k^3+9k^2-108\geq 0\Leftrightarrow k^2(k-3)+12(k-3)(k+3)=(k-3)(k+6)^2\geq 0\Rightarrow k\geq 3$
$\Rightarrow 3(a^{2}+b^{2}+c^{2})+abc\geq k^2-\frac{k^2}{3}+4=\frac{2k^2}{3}+4\geq 10$
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnguyenthe333: 17-08-2015 - 13:14
- tuananh2000, O0NgocDuy0O và ZzThuyDuongzZ thích
#3
Đã gửi 17-08-2015 - 13:12
Thanhwin
-
- Thành viên
-
- 15 Bài viết
Binh nhì
Ta có: $ab + bc + ca +abc =4 \geq 4\sqrt[4]{a^{3}b^{3}c^{3}} $
$\Leftrightarrow 1 \geq \sqrt[4]{a^{3}b^{3}c^{3}} \Leftrightarrow 1\geq abc$
Ta có: $3(a^{2}+b^{2}+c^{2}) + abc \geq 3(ab+bc+ca) +abc= 3(ab+bc+ca+abc)-2abc \geq 3.4 -2.1= 10$
$\Rightarrow 3(a^{2}+b^{2}+c^{2}) + abc \geq 10$
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi votruc: 17-08-2015 - 14:18
- CaptainCuong yêu thích
#4
Đã gửi 17-08-2015 - 13:13
Chris yang
-
- Thành viên
-
- 223 Bài viết
Thượng sĩ
Cho ba số không âm $a,b,c$ thoả mãn $ĐK$: $ab+bc+ca+abc=4$. Chứng minh rằng: $3(a^{2}+b^{2}+c^{2})+abc\geq 10$.
Spoiler
Bài này nếu dùng đổi biến có thể gán $(a,b,c)\rightarrow (\frac{2x}{y+z},\frac{2y}{x+z},\frac{2z}{x+y})$ rồi áp dụng AM-GM đơn giản ra ngay
Một cách khác ngắn gọn hơn là từ đk $4=ab+bc+ac+abc$ mà có $ab+bc+ac\leq a^2+b^2+c^2$ và $abc\leq\sqrt{(\frac{a^2+b^2+c^2}{3})^3}$ suy ra $a^2+b^2+c^2\geq 3$
Do đó $3(a^2+b^2+c^2)+abc=3(a^2+b^2+c^2)+4-(ab+bc+ac)\geq 2(a^2+b^2+c^2) +4\geq 10$
- O0NgocDuy0O, quan1234 và nloan2k1 thích
#5
Đã gửi 17-08-2015 - 19:00
CaptainCuong
-
- Thành viên
-
- 212 Bài viết
Thượng sĩ
Từ giả thiết ta có: $9(a+b+c)^2\geq 27(ab+bc+ca)=108-27abc\geq 108-(a+b+c)^3$
Đặt $k=a+b+c.BPT\Leftrightarrow k^3+9k^2-108\geq 0\Leftrightarrow k^2(k-3)+12(k-3)(k+3)=(k-3)(k+6)^2\geq 0\Rightarrow k\geq 3$
$\Rightarrow 3(a^{2}+b^{2}+c^{2})+abc\geq k^2-\frac{k^2}{3}+4=\frac{2k^2}{3}+4\geq 10$
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$
Chỗ tô đỏ là sao vậy bạn
#6
Đã gửi 17-08-2015 - 19:06
Minhnguyenthe333
-
- Thành viên
-
- 804 Bài viết
Trung úy
Chỗ tô đỏ là sao vậy bạn
thì $abc\leq \frac{(a+b+c)^3}{27}\Rightarrow -27abc \geq -(a+b+c)^3$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnguyenthe333: 17-08-2015 - 19:07
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
